1) Упростите выражение: (2a + B)² - (2a - 3b)(2a + 3b) и найдите его значение при a = 2, b = 1/5. 2) Решите уравнение: (4x+2)/7 + (3x-5)/4 = 3. 3) Постройте график y = 2x - 4 и определите, проходит ли он через точку A(43; 82). 4) Решите уравнение: (x-3)(6x+5) = (x-3)(2x-3). 5) Задача. Из города на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Скорость мотоцикла была 128 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

1) Упрощение выражения и вычисление значения:

Выражение: \( (2a + B)^2 - (2a - 3b)(2a + 3b) \)

1. Раскроем квадрат суммы: \( (2a + B)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot B + B^2 = 4a^2 + 4aB + B^2 \)
2. Раскроем произведение разности и суммы: \( (2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2 \)
3. Подставим полученные выражения обратно в исходное: \( (4a^2 + 4aB + B^2) - (4a^2 - 9b^2) \)
4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \( 4a^2 + 4aB + B^2 - 4a^2 + 9b^2 = 4aB + 10b^2 \)
5. Найдем значение выражения при \( a = 2 \) и \( b = \frac{1}{5} \): \( 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} + 10 \cdot (\frac{1}{5})^2 = \frac{8}{5} + 10 \cdot \frac{1}{25} = \frac{8}{5} + \frac{10}{25} = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2 \)

Ответ: 2

2) Решение уравнения:

Уравнение: \( \frac{4x+2}{7} + \frac{3x-5}{4} = 3 \)

1. Приведем дроби к общему знаменателю (28):


2. \( \frac{4(4x+2)}{28} + \frac{7(3x-5)}{28} = \frac{3 \cdot 28}{28} \)


3. \( 16x + 8 + 21x - 35 = 84 \)


4. \( 37x - 27 = 84 \)


5. \( 37x = 84 + 27 \)


6. \( 37x = 111 \)


7. \( x = \frac{111}{37} \)


8. \( x = 3 \)

Ответ: x = 3

3) Построение графика функции и проверка точки:

Функция: \( y = 2x - 4 \)

1. Чтобы построить график, найдем координаты двух точек.


2. При \( x = 0 \), \( y = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \). Точка: (0; -4).


3. При \( y = 0 \), \( 2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \). Точка: (2; 0).


4. Построим график, соединив эти две точки.


5. Проверим, проходит ли график через точку A(43; 82). Подставим координаты точки в уравнение функции:


6. \( 82 = 2 \cdot 43 - 4 \)


7. \( 82 = 86 - 4 \)


8. \( 82 = 82 \)


9. Так как равенство верно, график проходит через точку A(43; 82).

Ответ: График проходит через точку A(43; 82).

4) Решение уравнения:

Уравнение: \( (x-3)(6x+5) = (x-3)(2x-3) \)

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:


2. \( (x-3)(6x+5) - (x-3)(2x-3) = 0 \)


3. Вынесем общий множитель \( (x-3) \) за скобки:


4. \( (x-3) [(6x+5) - (2x-3)] = 0 \)


5. Упростим выражение в квадратных скобках:


6. \( (x-3) [6x+5 - 2x+3] = 0 \)


7. \( (x-3) (4x+8) = 0 \)


8. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:


9. \( x-3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)


10. \( 4x+8 = 0 \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2 \)

Ответ: x = 3, x = -2

5) Решение задачи:

Пусть \( v_в \) - скорость велосипедиста (км/ч), \( v_м \) - скорость мотоциклиста (км/ч).

Известно, что \( v_м = v_в + 128 \) км/ч.

Расстояние между городом и станцией = 32 км.

Велосипедист выехал из города. Мотоциклист выехал навстречу из станции.

Время движения велосипедиста до встречи = 0,5 ч (до выезда мотоциклиста) + 0,5 ч (после выезда мотоциклиста) = 1 ч.

Время движения мотоциклиста до встречи = 0,5 ч.

Расстояние, которое проехал велосипедист за 1 час: \( S_в = v_в · 1 = v_в \) км.

Расстояние, которое проехал мотоциклист за 0,5 часа: \( S_м = v_м · 0,5 = (v_в + 128) · 0,5 = 0,5v_в + 64 \) км.

Расстояние между городом и станцией равно сумме расстояний, которые проехали велосипедист и мотоциклист до момента встречи:

\( S_в + S_м = 32 \)

\( v_в + (0,5v_в + 64) = 32 \)

\( 1,5v_в + 64 = 32 \)

\( 1,5v_в = 32 - 64 \)

\( 1,5v_в = -32 \)

\( v_в = \frac{-32}{1,5} = \frac{-320}{15} = \frac{-64}{3} \) км/ч.

Скорость не может быть отрицательной. Это означает, что в условии задачи допущена ошибка либо в числах, либо в формулировке.

Проверим условие:

Если велосипедист и мотоциклист едут навстречу друг другу, то они должны встретиться. Скорость мотоциклиста значительно больше скорости велосипедиста, что логично. Но сумма расстояний, пройденных ими, должна быть равна общему расстоянию. В данном случае, даже за 1 час велосипедист проедет \( v_в \) км, а мотоциклист за 0.5 часа \( 0.5(v_в+128) \) км. Сумма их скоростей * время сближения (0.5ч) должна быть равна 32 км, если они выехали одновременно. Но они не выезжали одновременно.

Предположим, что мотоциклист выехал одновременно с велосипедистом:

\( v_в · 0.5 + v_м · 0.5 = 32 \)

\( 0.5(v_в + v_м) = 32 \)

\( v_в + v_м = 64 \)

\( v_в + (v_в + 128) = 64 \)

\( 2v_в + 128 = 64 \)

\( 2v_в = 64 - 128 \)

\( 2v_в = -64 \)

\( v_в = -32 \) км/ч. Опять отрицательная скорость.

Рассмотрим условие, как написано:

Велосипедист проехал некоторое расстояние, затем выехал мотоциклист.

Пусть \( t \) - время, через которое мотоциклист выехал после велосипедиста. В условии сказано "Через 0,5ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист". Это можно трактовать так, что через 0.5ч ПОСЛЕ ВЫЕЗДА ВЕЛОСИПЕДИСТА выехал мотоциклист.

Тогда:

\( v_в · 0.5 + v_м · 0.5 = 32 \) (они встретились через 0.5 часа после выезда мотоциклиста)

\( v_в · 0.5 + (v_в + 128) · 0.5 = 32 \)

\( 0.5v_в + 0.5v_в + 64 = 32 \)

\( v_в + 64 = 32 \)

\( v_в = 32 - 64 = -32 \) км/ч. Отрицательная скорость.

Перечитаем условие: "Из города на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5ч после своего выезда."

Это означает, что:

1. Велосипедист едет из города. Мотоциклист едет со станции навстречу.

2. Велосипедист едет \( 0.5 \) часа.

3. Мотоциклист выезжает и едет \( 0.5 \) часа до встречи.

4. Встреча происходит, когда сумма пройденных ими расстояний равна \( 32 \) км.

5. Время движения велосипедиста до встречи = \( 0.5 \) ч (до выезда мотоциклиста) + \( 0.5 \) ч (после выезда мотоциклиста) = \( 1 \) час.

6. Скорость мотоциклиста на \( 128 \) км/ч больше скорости велосипедиста.

Пусть \( v \) - скорость велосипедиста.

Скорость мотоциклиста = \( v + 128 \).

Расстояние, пройденное велосипедистом за 1 час: \( S_в = v · 1 = v \) км.

Расстояние, пройденное мотоциклистом за 0.5 часа: \( S_м = (v + 128) · 0.5 = 0.5v + 64 \) км.

\( S_в + S_м = 32 \)

\( v + (0.5v + 64) = 32 \)

\( 1.5v + 64 = 32 \)

\( 1.5v = 32 - 64 \)

\( 1.5v = -32 \)

\( v = \frac{-32}{1.5} = -21.33 \) км/ч.

Вывод: Задача содержит некорректные числовые данные, так как скорость не может быть отрицательной. Если предположить, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше, а не 128 км/ч, то:

\( v + (0.5v + 28) = 32 \)

\( 1.5v + 28 = 32 \)

\( 1.5v = 4 \)

\( v = \frac{4}{1.5} = \frac{8}{3} \) км/ч.

Скорость велосипедиста = \( \frac{8}{3} \) км/ч.

Скорость мотоциклиста = \( \frac{8}{3} + 28 = \frac{8 + 84}{3} = \frac{92}{3} \) км/ч.

При условии, что скорость мотоциклиста больше на 28 км/ч:

Ответ: Скорость велосипедиста = \( \frac{8}{3} \) км/ч, скорость мотоциклиста = \( \frac{92}{3} \) км/ч.