1. Упростите выражение: а) 10√3 − 4√48 − √75; б) (5√2 − √18)√2; в) (3 − √2)². 2. Сравните 7√(1/17) и ½√20. 3. Сократите дробь: а) (6 + √6)/(√30 + √5); б) (9 − a)/(3 + √a). 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) 1/(2√5); б) 8/(√7 − 1). 5. Докажите, что значение выражения 1/(2√3 + 1) − 1/(2√3 − 1) есть рациональное число. 6. При каких значениях a дробь (√a − √5)/(a − 5) принимает наибольшее значение?

а) √48 = 4√3, √75 = 5√3, поэтому 10√3 − 4·4√3 − 5√3 = −11√3.

б) √18 = 3√2, поэтому (5√2 − 3√2)√2 = 4.

в) (3 − √2)² = 9 − 6√2 + 2 = 11 − 6√2.

Оба числа положительны, поэтому сравним квадраты: (7√(1/17))² = 49/17, а (½√20)² = 5. Так как 49/17 < 5, то 7√(1/17) < ½√20.

а) √30 + √5 = √5(√6 + 1), а 6 + √6 = √6(√6 + 1). Дробь сокращается до √(6/5).

б) 9 − a = (3 − √a)(3 + √a), поэтому при a ≥ 0 и a ≠ 9 дробь равна 3 − √a.

а) Умножаем числитель и знаменатель на √5: 1/(2√5) = √5/10.

б) Умножаем на сопряжённое выражение: 8/(√7 − 1) = 8(√7 + 1)/(7 − 1) = 4(√7 + 1)/3.

Приведём дроби к общему знаменателю:

1/(2√3 + 1) − 1/(2√3 − 1) = ((2√3 − 1) − (2√3 + 1))/((2√3 + 1)(2√3 − 1)) = −2/(12 − 1) = −2/11.

Получилось рациональное число.

Область определения: a ≥ 0, a ≠ 5. Рационализуем выражение:

(√a − √5)/(a − 5) = (√a − √5)/((√a − √5)(√a + √5)) = 1/(√a + √5).

При a ≥ 0 знаменатель не меньше √5 и возрастает с увеличением a. Наибольшее значение получается при наименьшем допустимом a, то есть при a = 0; оно равно 1/√5.

Ответ: при a = 0.