1. Упростите выражение: а) -2ху² · 3x³y²; б) (-4ab³)². 2. Решите уравнение: 4(1 – 5x) = 9 – 3(6x – 5). 3. Разложите на множители: а) a²b – ab²; б) 9x – x³. 4. Турист прошёл 50км за 3 дня. Во второй день он прошёл на 10км меньше, чем в первый день, и на 5км больше, чем в третий. Сколько километров проходил турист каждый день? 5. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство: (x – y)(x + y) – (a – x + y)(a – x – y) – a(2x – a) = 0. 6. На графике функции y = 3x + 8 найдите точку, абсцисса которой равна её ординате.

Задание 1. Упрощение выражений

а) $$-2xy^2 \cdot 3x^3y^2$$

1. Перемножаем коэффициенты: $$-2 \cdot 3 = -6$$.
2. Складываем степени при одинаковых основаниях: $$x^1 \cdot x^3 = x^{1+3} = x^4$$ и $$y^2 \cdot y^2 = y^{2+2} = y^4$$.
3. Собираем всё вместе: $$-6x^4y^4$$.

б) $$(-4ab^3)^2$$

1. Возводим коэффициент в квадрат: $$(-4)^2 = 16$$.
2. Возводим степени переменных в квадрат: $$(a^1)^2 = a^{1\cdot2} = a^2$$ и $$(b^3)^2 = b^{3\cdot2} = b^6$$.
3. Собираем всё вместе: $$16a^2b^6$$.

Ответ: а) $$-6x^4y^4$$; б) $$16a^2b^6$$.

Задание 2. Решение уравнения

Дано: уравнение $$4(1 – 5x) = 9 – 3(6x – 5)$$.

Решение:

1. Раскроем скобки:
• Слева: $$4 \cdot 1 - 4 \cdot 5x = 4 - 20x$$.
• Справа: $$9 - (3 \cdot 6x - 3 \cdot 5) = 9 - (18x - 15) = 9 - 18x + 15$$.
2. Получаем уравнение: $$4 - 20x = 9 - 18x + 15$$.
3. Приведём подобные слагаемые справа: $$9 + 15 = 24$$.
4. Уравнение теперь выглядит так: $$4 - 20x = 24 - 18x$$.
5. Перенесём члены с $$x$$ в левую часть, а числа — в правую: $$-20x + 18x = 24 - 4$$.
6. Выполним вычисления: $$-2x = 20$$.
7. Разделим обе части на $$-2$$: $$x = \frac{20}{-2} = -10$$.

Ответ: $$x = -10$$.

Задание 3. Разложение на множители

а) $$a^2b - ab^2$$

1. Вынесем общий множитель $$ab$$ за скобки: $$ab(a - b)$$.

б) $$9x - x^3$$

1. Вынесем общий множитель $$x$$ за скобки: $$x(9 - x^2)$$.
2. Заметим, что $$9 - x^2$$ — это разность квадратов ($$3^2 - x^2$$), которую можно разложить как $$(3 - x)(3 + x)$$.
3. Итого: $$x(3 - x)(3 + x)$$.

Ответ: а) $$ab(a - b)$$; б) $$x(3 - x)(3 + x)$$.

Задание 4. Расстояние туриста

Дано:

• Общее расстояние: $$50$$ км.
• Общее время: $$3$$ дня.

Обозначения:

• Пусть $$x$$ — расстояние, пройденное туристом в первый день (в км).

Условия:

• Во второй день турист прошёл на $$10$$ км меньше, чем в первый: $$x - 10$$ км.
• В третий день турист прошёл на $$5$$ км больше, чем в первый: $$x + 5$$ км.

Решение:

1. Составим уравнение, суммируя расстояния за все три дня: $$x + (x - 10) + (x + 5) = 50$$.
2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$x + x - 10 + x + 5 = 50 \rightarrow 3x - 5 = 50$$.
3. Перенесём $$-5$$ в правую часть: $$3x = 50 + 5 \rightarrow 3x = 55$$.
4. Найдём $$x$$: $$x = \frac{55}{3}$$ км.
5. Рассчитаем расстояния за каждый день:
• Первый день: $$x = \frac{55}{3}$$ км.
• Второй день: $$x - 10 = \frac{55}{3} - 10 = \frac{55}{3} - \frac{30}{3} = \frac{25}{3}$$ км.
• Третий день: $$x + 5 = \frac{55}{3} + 5 = \frac{55}{3} + \frac{15}{3} = \frac{70}{3}$$ км.
6. Проверим, что сумма равна $$50$$ км: $$\frac{55}{3} + \frac{25}{3} + \frac{70}{3} = \frac{55 + 25 + 70}{3} = \frac{150}{3} = 50$$.

Ответ: Турист проходил $$\frac{55}{3}$$ км в первый день, $$\frac{25}{3}$$ км во второй день и $$\frac{70}{3}$$ км в третий день.

Задание 5. Доказательство равенства

Дано: равенство $$(x - y)(x + y) - (a - x + y)(a - x - y) - a(2x – a) = 0$$.

Доказательство:

1. Раскроем первые две скобки, используя формулы сокращённого умножения:
• $$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$$ (разность квадратов).
• $$(a - x + y)(a - x - y)$$ — здесь удобно сгруппировать: $$((a - x) + y)((a - x) - y) = (a - x)^2 - y^2$$.
• Раскроем $$(a - x)^2$$: $$a^2 - 2ax + x^2$$.
• Тогда $$(a - x)^2 - y^2 = a^2 - 2ax + x^2 - y^2$$.
2. Подставим полученные выражения обратно в исходное равенство:
• $$(x^2 - y^2) - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) - a(2x - a)$$.
3. Раскроем вторую часть скобок, меняя знаки: $$x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - a(2x - a)$$.
4. Сократим $$x^2$$ и $$-x^2$$, а также $$-y^2$$ и $$y^2$$: $$-a^2 + 2ax - a(2x - a)$$.
5. Раскроем последнюю скобку: $$-a^2 + 2ax - (2ax - a^2) = -a^2 + 2ax - 2ax + a^2$$.
6. Сократим $$2ax$$ и $$-2ax$$, а также $$-a^2$$ и $$a^2$$.
7. Получаем $$0$$.
8. Итак, $$0 = 0$$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

Задание 6. Точка на графике

Дано: функция $$y = 3x + 8$$.

Условие: абсцисса точки равна её ординате. Это означает, что $$x = y$$.

Решение:

1. Подставим $$y = x$$ в уравнение функции: $$x = 3x + 8$$.
2. Перенесём члены с $$x$$ в одну сторону, а константу — в другую: $$x - 3x = 8$$.
3. Получаем: $$-2x = 8$$.
4. Разделим обе части на $$-2$$: $$x = \frac{8}{-2} = -4$$.
5. Так как абсцисса равна ординате, то $$y = x = -4$$.
6. Таким образом, точка имеет координаты $$(-4, -4)$$.

Ответ: $$(-4, -4)$$.