1. Упростите выражение (а + 6)² - 2а (3-2а). 2. Решите систему уравнений: { 5x - 2y = 11, 4x - y = 4. 3. а) Постройте график функции y = 2x - 2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A(-10; - 20). 4. Разложите на множители: a) 2a⁴b³ - 2a³b⁴ + 6a²b²; б) x² - 3x - 3y - y². 5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Задание 1. Упрощение выражения

Нужно упростить выражение \( (a + 6)^2 - 2a(3 - 2a) \).

1. Раскроем скобки: \( (a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36 \).
2. Раскроем скобки: \( -2a(3 - 2a) = -6a + 4a^2 \).
3. Сложим полученные выражения: \( a^2 + 12a + 36 - 6a + 4a^2 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( (a^2 + 4a^2) + (12a - 6a) + 36 = 5a^2 + 6a + 36 \).

Ответ: \( 5a^2 + 6a + 36 \).

Задание 2. Решение системы уравнений

Нужно решить систему уравнений:

\( \begin{cases} 5x - 2y = 11 \\ 4x - y = 4
\end{cases} \)

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим \( y \):

\( y = 4x - 4 \)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( 5x - 2(4x - 4) = 11 \)

Раскроем скобки:

\( 5x - 8x + 8 = 11 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( -3x = 11 - 8 \)

\( -3x = 3 \)

Разделим обе части на -3:

\( x = -1 \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = -1 \) в уравнение \( y = 4x - 4 \):

\( y = 4(-1) - 4 \)

\( y = -4 - 4 \)

\( y = -8 \)

Ответ: \( x = -1, y = -8 \).

Задание 3. График функции

а) Построение графика функции \( y = 2x - 2 \).

Это линейная функция, её график — прямая. Чтобы построить прямую, достаточно найти две точки.

• При \( x = 0 \), \( y = 2(0) - 2 = -2 \). Точка \( (0, -2) \).
• При \( y = 0 \), \( 0 = 2x - 2 \), \( 2x = 2 \), \( x = 1 \). Точка \( (1, 0) \).

Построим прямую, проходящую через эти точки.

б) Проходит ли график через точку \( A(-10, -20) \)?

Подставим координаты точки \( A \) в уравнение функции:

\( -20 = 2(-10) - 2 \)

\( -20 = -20 - 2 \)

\( -20 = -22 \)

Это равенство неверно.

Ответ: а) График построен. б) Нет, график функции не проходит через точку \( A(-10, -20) \).

Задание 4. Разложение на множители

а) Разложить на множители \( 2a^4b^3 - 2a^3b^4 + 6a^2b^2 \)

• Вынесем общий множитель \( 2a^2b^2 \):
• \( 2a^2b^2(a^2b - ab^2 + 3) \)

б) Разложить на множители \( x^2 - 3x - 3y - y^2 \)

Это выражение сложно разложить на множители стандартными методами без дополнительных условий или преобразований.

Ответ: а) \( 2a^2b^2(a^2b - ab^2 + 3) \). б) Требуется дополнительная информация для разложения.

Задание 5. Скорость лодки

Дано:

• Расстояние между А и В: \( S_{AB} = 30 \) км.
• Скорость течения реки: \( v_{тек.} = 2 \) км/ч.
• Плот из А вышел раньше на 1 час.
• Встреча произошла через 2 часа после выхода лодки.

Найти: собственную скорость лодки \( v_{лодки} \).

Решение:

1. Время движения плота до встречи: \( t_{плота} = 2 + 1 = 3 \) часа.
2. Скорость плота равна скорости течения: \( v_{плота} = v_{тек.} = 2 \) км/ч.
3. Расстояние, которое прошёл плот до встречи: \( S_{плота} = v_{плота} \cdot t_{плота} = 2 \cdot 3 = 6 \) км.
4. Расстояние, которое прошла лодка до встречи: \( S_{лодки} = S_{AB} - S_{плота} = 30 - 6 = 24 \) км.
5. Время движения лодки до встречи: \( t_{лодки} = 2 \) часа.
6. Скорость лодки относительно берега (скорость по течению, так как лодка вышла навстречу плоту, который двигался по течению): \( v_{лодки\_относительно\_берега} = v_{лодки} + v_{тек.} \).
7. Скорость лодки относительно берега также равна: \( v_{лодки\_относительно\_берега} = \frac{S_{лодки}}{t_{лодки}} = \frac{24}{2} = 12 \) км/ч.
8. Теперь найдём собственную скорость лодки: \( v_{лодки} = v_{лодки\_относительно\_берега} - v_{тек.} \)
9. \( v_{лодки} = 12 - 2 = 10 \) км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки 10 км/ч.