Контрольные задания > 1. Упростите выражение (х-2)² - (x - 1)(x + 2). 2. Решите систему уравнений: [3x + 5y = 12, [x-2y=-7. 3. а) Постройте график функции у=-2x+2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A(10; -18). 4. Разложите на множители: a) 3x³y³+3x²y²-6xy²; б) 2a+a²-b²-2b. 5. Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.
Вопрос:

1. Упростите выражение (х-2)² - (x - 1)(x + 2). 2. Решите систему уравнений: [3x + 5y = 12, [x-2y=-7. 3. а) Постройте график функции у=-2x+2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A(10; -18). 4. Разложите на множители: a) 3x³y³+3x²y²-6xy²; б) 2a+a²-b²-2b. 5. Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание 1. Упрощение выражения

Нужно раскрыть скобки и привести подобные члены.

Решение:

  1. Раскроем квадрат разности: \( (x-2)^2 = x^2 - 2 \times 2 \times x + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \).
  2. Раскроем произведение разности и суммы: \( (x-1)(x+2) = x(x+2) - 1(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 \).
  3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное: \( (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x - 2) \).
  4. Раскроем вторую скобку, поменяв знаки: \( x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 \).
  5. Приведем подобные члены: \( (x^2 - x^2) + (-4x - x) + (4 + 2) = 0 - 5x + 6 \).

Ответ: $$-5x + 6$$.

Задание 2. Решение системы уравнений

Решим систему методом подстановки.

Дано:

  • \( 3x + 5y = 12 \)
  • \( x - 2y = -7 \)

Решение:

  1. Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = 2y - 7 \).
  2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( 3(2y - 7) + 5y = 12 \).
  3. Раскроем скобки: \( 6y - 21 + 5y = 12 \).
  4. Приведем подобные члены: \( 11y - 21 = 12 \).
  5. Перенесем 21 в правую часть: \( 11y = 12 + 21 \) \( 11y = 33 \).
  6. Найдем \( y \): \( y = \frac{33}{11} = 3 \).
  7. Теперь найдем \( x \), подставив значение \( y \) в выражение для \( x \): \( x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1 \).

Ответ: \( x = -1, y = 3 \).

Задание 3. График функции

а) Построение графика функции \( y = -2x + 2 \)

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения достаточно найти две точки.

  • Если \( x = 0 \), то \( y = -2(0) + 2 = 2 \). Точка \( (0, 2) \).
  • Если \( y = 0 \), то \( -2x + 2 = 0 \), \( -2x = -2 \), \( x = 1 \). Точка \( (1, 0) \).

б) Проходит ли график через точку A(10; -18)?

Подставим координаты точки \( A \) в уравнение функции:

\( -18 = -2(10) + 2 \)

\( -18 = -20 + 2 \)

\( -18 = -18 \)

Равенство верно, значит, график проходит через точку \( A(10; -18) \).

Ответ: а) график — прямая, проходящая через точки (0; 2) и (1; 0). б) Да, проходит.

Задание 4. Разложение на множители

а) \( 3x^3y^3+3x^2y^2-6xy^2 \)

Вынесем общий множитель за скобки.

  1. Общий множитель: \( 3xy^2 \).
  2. Выносим его: \( 3xy^2(x^2y + x - 2) \).

б) \( 2a+a^2-b^2-2b \)

Сгруппируем члены.

  1. Сгруппируем так: \( (a^2 + 2a) - (b^2 + 2b) \).
  2. Это не помогает. Попробуем иначе: \( (a^2 - b^2) + (2a - 2b) \).
  3. Разложим разность квадратов: \( (a - b)(a + b) \).
  4. Вынесем общий множитель из второй группы: \( 2(a - b) \).
  5. Теперь у нас есть общий множитель \( (a - b) \): \( (a - b)(a + b + 2) \).

Ответ: а) \( 3xy^2(x^2y + x - 2) \); б) \( (a - b)(a + b + 2) \).

Задание 5. Скорости велосипедиста и мотоциклиста

Дано:

  • Расстояние от поселка до станции: \( S = 32 \) км.
  • Время движения велосипедиста до встречи: \( t_в = 0.5 + 0.5 = 1 \) ч.
  • Время движения мотоциклиста до встречи: \( t_м = 0.5 \) ч.
  • \( v_м = v_в + 28 \) км/ч.

Найти: \( v_в \) и \( v_м \).

Решение:

  1. Пусть \( v_в \) — скорость велосипедиста, а \( v_м \) — скорость мотоциклиста.
  2. Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи: \( S_в = v_в \times t_в = v_в \times 1 = v_в \) км.
  3. Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи: \( S_м = v_м \times t_м = (v_в + 28) \times 0.5 \) км.
  4. Сумма расстояний, которые они проехали до встречи, равна общему расстоянию: \( S_в + S_м = S \).
  5. Подставим выражения: \( v_в + (v_в + 28) \times 0.5 = 32 \).
  6. Раскроем скобки: \( v_в + 0.5v_в + 14 = 32 \).
  7. Приведем подобные члены: \( 1.5v_в = 32 - 14 \) \( 1.5v_в = 18 \).
  8. Найдем скорость велосипедиста: \( v_в = \frac{18}{1.5} = \frac{180}{15} = 12 \) км/ч.
  9. Найдем скорость мотоциклиста: \( v_м = v_в + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста 12 км/ч, скорость мотоциклиста 40 км/ч.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю