1. Упростите выражение (x-2)² - (x-1)(x+2). 2. Решите систему уравнений: 3x + 5y = 12, x-2y = -7. 3. а) Постройте график функции y = -2x + 2. б) Определите, проходит ли график функции через точку 4(10; -18). 4. Разложите на множители: a) 3x³y³ + 3x²y² - 6xy²; б) 2a + a² - b² - 2b. 5. Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Вариант 2, ИК-1

Задание 1. Упрощение выражения

Выражение: \( (x-2)^2 - (x-1)(x+2) \)

Решение:

1. Раскроем квадрат разности: \( (x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \).


2. Раскроем произведение скобок: \( (x-1)(x+2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 \).


3. Подставим раскрытые выражения обратно в исходное: \( (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x - 2) \).


4. Раскроем скобки, меняя знаки второго выражения: \( x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 \).


5. Приведём подобные слагаемые: \( (x^2 - x^2) + (-4x - x) + (4 + 2) = 0 - 5x + 6 = -5x + 6 \).

Ответ: \( -5x + 6 \)

Задание 2. Решение системы уравнений

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
3x + 5y = 12 \\
x - 2y = -7
\end{cases}
\]

Решение:

1. Выразим x из второго уравнения: \( x = 2y - 7 \).


2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( 3(2y - 7) + 5y = 12 \).


3. Раскроем скобки: \( 6y - 21 + 5y = 12 \).


4. Приведём подобные слагаемые: \( 11y - 21 = 12 \).


5. Перенесём -21 в правую часть: \( 11y = 12 + 21 \) → \( 11y = 33 \).


6. Найдём y: \( y = \frac{33}{11} = 3 \).


7. Подставим значение y в выражение для x: \( x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1 \).

Ответ: \( x = -1, y = 3 \)

Задание 3. График функции

а) Построение графика функции \( y = -2x + 2 \)

Это линейная функция. Для построения графика достаточно найти две точки.

• Если \( x = 0 \), то \( y = -2(0) + 2 = 2 \). Точка: (0, 2).


• Если \( y = 0 \), то \( 0 = -2x + 2 \) → \( 2x = 2 \) → \( x = 1 \). Точка: (1, 0).

б) Проходит ли график через точку (10; -18)?

Подставим координаты точки в уравнение функции:

\( -18 = -2(10) + 2 \)

\( -18 = -20 + 2 \)

\( -18 = -18 \)

Равенство верно, значит, график проходит через эту точку.

Ответ: а) График построен. б) Да, проходит.

Задание 4. Разложение на множители

а) \( 3x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy^2 \)

Решение:

1. Вынесем общий множитель: \( 3xy^2 \).


2. Получим: \( 3xy^2(x^2y + xy - 2) \).

Ответ: \( 3xy^2(x^2y + xy - 2) \)

б) \( 2a + a^2 - b^2 - 2b \)

Решение:

1. Перегруппируем слагаемые: \( (a^2 + 2a) - (b^2 + 2b) \).


2. Дополним до полных квадратов (сначала нужно увидеть, что это не подходит, и попробовать иначе):

Попробуем другую группировку:

1. Перегруппируем: \( (a^2 - b^2) + (2a - 2b) \).


2. Разложим разность квадратов: \( (a - b)(a + b) \).


3. Вынесем общий множитель во второй группе: \( 2(a - b) \).


4. Объединим: \( (a - b)(a + b) + 2(a - b) \).


5. Вынесем общий множитель \( (a - b) \): \( (a - b)(a + b + 2) \).

Ответ: \( (a - b)(a + b + 2) \)

Задание 5. Задача на движение

Дано:

• Расстояние между поселком и станцией: \( S = 32 \) км.


• Велосипедист выехал первым.


• Мотоциклист выехал через \( 0.5 \) ч после велосипедиста.


• Встретились через \( 0.5 \) ч после выезда мотоциклиста.


• Скорость мотоциклиста на \( 28 \) км/ч больше скорости велосипедиста.

Найти: скорость велосипедиста \( v_в \) и скорость мотоциклиста \( v_м \).

Решение:

1. Пусть скорость велосипедиста равна \( x \) км/ч. Тогда скорость мотоциклиста равна \( x + 28 \) км/ч.


2. Время движения мотоциклиста до встречи: \( t_м = 0.5 \) ч.


3. Время движения велосипедиста до встречи: \( t_в = 0.5 \) ч (от выезда мотоциклиста) + \( 0.5 \) ч (время, которое он ехал до выезда мотоциклиста) = \( 1 \) ч.


4. Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи: \( S_м = v_м \cdot t_м = (x + 28) \cdot 0.5 \).


5. Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи: \( S_в = v_в \cdot t_в = x \cdot 1 = x \).


6. Сумма расстояний, пройденных велосипедистом и мотоциклистом до встречи, равна общему расстоянию между поселком и станцией: \( S_м + S_в = 32 \).


7. Подставим выражения для расстояний: \( (x + 28) \cdot 0.5 + x = 32 \).


8. Раскроем скобки: \( 0.5x + 14 + x = 32 \).


9. Приведём подобные слагаемые: \( 1.5x + 14 = 32 \).


10. Перенесём 14 в правую часть: \( 1.5x = 32 - 14 \) → \( 1.5x = 18 \).


11. Найдём \( x \) (скорость велосипедиста): \( x = \frac{18}{1.5} = \frac{180}{15} = 12 \) км/ч.


12. Найдём скорость мотоциклиста: \( v_м = x + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Проверка:

• Велосипедист проехал: \( 12 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 12 \) км.


• Мотоциклист проехал: \( 40 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 20 \) км.


• Общее расстояние: \( 12 + 20 = 32 \) км. Верно.

Ответ: Скорость велосипедиста 12 км/ч, скорость мотоциклиста 40 км/ч.