1. Упростите выражение: (x-2)² - (x-1)(x+2). 2. Решите систему уравнений: {3x+5y=12, x-2y=-7}. 3. а) Постройте график функции y=-2x+2. б) Определите проходит ли график функции через точку А(10; -18). 4. Разложите на множители: а) 3x³y + 3x²y² - 6xy³. б) 20 + a² - b² - 2b. 5. Из посёлка на станцию, расстояние между которыми 32км, выехал велосипедист. Через 0,5ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

1. Упрощение выражения:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( (x-2)^2 - (x-1)(x+2) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 2x - x - 2) \)

\( = x^2 - 4x + 4 - (x^2 + x - 2) \)

\( = x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 \)

\( = -5x + 6 \)

2. Решение системы уравнений:

Система уравнений:

\( \begin{cases} 3x + 5y = 12 \\ x - 2y = -7 \end{cases} \)

Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 2y - 7 \).

Подставим в первое уравнение:

\( 3(2y - 7) + 5y = 12 \)

\( 6y - 21 + 5y = 12 \)

\( 11y = 12 + 21 \)

\( 11y = 33 \)

\( y = 3 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1 \)

3. График функции и точка:

а) График функции \( y = -2x + 2 \) — это прямая.

Чтобы построить её, найдём две точки:

• При \( x = 0 \), \( y = -2(0) + 2 = 2 \). Точка (0; 2).
• При \( x = 1 \), \( y = -2(1) + 2 = 0 \). Точка (1; 0).

б) Проверим, проходит ли график через точку А(10; -18).

Подставим координаты точки в уравнение функции:

\( -18 = -2(10) + 2 \)

\( -18 = -20 + 2 \)

\( -18 = -18 \)

Равенство верно, значит, график проходит через точку А.

4. Разложение на множители:

а) \( 3x^3y + 3x^2y^2 - 6xy^3 \)

Вынесем общий множитель \( 3xy \):

\( 3xy(x^2 + xy - 2y^2) \)

Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + xy - 2y^2 \) как квадратный трёхчлен относительно \( x \):

\( (x + 2y)(x - y) \)

Итого: \( 3xy(x + 2y)(x - y) \)

б) \( 20 + a^2 - b^2 - 2b \)

Сгруппируем слагаемые:

\( (a^2) + (20 - b^2 - 2b) \) — здесь нет очевидного разложения.

Перегруппируем иначе:

\( a^2 - (b^2 + 2b - 20) \)

Выделим полный квадрат в скобках: \( b^2 + 2b + 1 - 21 = (b+1)^2 - 21 \).

\( a^2 - ((b+1)^2 - 21) = a^2 - (b+1)^2 + 21 \)

Это также не даёт простого разложения. Предположим, в задании была опечатка и должно быть \( 20 + a^2 - b^2 - 2ab \) или что-то подобное.

Если допустить, что это \( 2a + a^2 - b^2 - 2b \), то можно попробовать так:

\( (a^2 + 2a) - (b^2 + 2b) \) — также не даёт простого разложения.

Рассмотрим исходное выражение \( 20 + a^2 - b^2 - 2b \) еще раз. Оно не раскладывается на простые множители стандартными методами без дополнительных условий или предположений о связи между \( a \) и \( b \).

Примем, что в условии была опечатка и рассмотрим вариант: \( a^2 - b^2 - 2b + 20 \) не имеет простого разложения.

Если имелось в виду \( a^2 - b^2 - 2b + 1 \), то: \( a^2 - (b^2+2b-1) \) не подходит.

Если имелось в виду \( a^2 - b^2 - 2b \), то: \( a^2 - (b^2+2b) \).

Самый вероятный вариант, если бы было \( a^2 - b^2 - 2b - 20 \): \( a^2 - (b^2+2b+20) \).

Из-за неопределённости, оставим как есть, или укажем на невозможность разложения.

Учитывая стандартные задания, возможно, имелось в виду \( a^2 - b^2 - 2ab \) (разность квадратов с одним общим множителем) или \( a^2 - 2ab + b^2 \) (квадрат разности).

Если предположить, что часть \( -b^2 - 2b \) должна быть связана с \( a^2 \), и \( 20 \) — это константа.

Предположим, что это \( a^2 - (b^2 + 2b) + 20 \).

Предположим, что имелось в виду \( a^2 - b^2 - 2b + 1 \), тогда \( a^2 - (b+1)^2 \).

Однако, в данном виде \( 20 + a^2 - b^2 - 2b \) не раскладывается на простые множители.

Оставим без разложения, либо укажем на неразлагаемость.

5. Задача о движении:

Пусть \( v_в \) — скорость велосипедиста (км/ч), \( v_м \) — скорость мотоциклиста (км/ч).

Расстояние между посёлком и станцией \( S = 32 \) км.

Велосипедист выехал из посёлка на станцию.

Мотоциклист выехал навстречу из станции через 0.5 ч после велосипедиста.

Они встретились через 0.5 ч после выезда мотоциклиста.

Скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста: \( v_м = v_в + 28 \).

Время движения велосипедиста до встречи: \( t_в = 0.5 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 1 \text{ ч} \).

Время движения мотоциклиста до встречи: \( t_м = 0.5 \text{ ч} \).

Расстояние, которое проехал велосипедист: \( S_в = v_в \times t_в = v_в \times 1 = v_в \).

Расстояние, которое проехал мотоциклист: \( S_м = v_м \times t_м = (v_в + 28) \times 0.5 \).

Общее расстояние равно сумме пройденных расстояний:

\( S_в + S_м = S \)

\( v_в + (v_в + 28) \times 0.5 = 32 \)

\( v_в + 0.5v_в + 14 = 32 \)

\( 1.5v_в = 32 - 14 \)

\( 1.5v_в = 18 \)

\( v_в = \frac{18}{1.5} = \frac{180}{15} = 12 \) км/ч.

Скорость мотоциклиста:

\( v_м = v_в + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста 12 км/ч, скорость мотоциклиста 40 км/ч.