1. Упростите выражения: a) (\(\frac{a}{4b} - \frac{b}{a}\)) : \(\frac{a + 2b}{12ab}\) б) \(\frac{4x^2 + 4xy + y^2}{8x^2}\) \(\cdot\) (\(\frac{2x}{y - 2x} - \frac{2x}{y + 2x}\))

Решение:

1. а) Упростим выражение в скобках:
   \(\frac{a}{4b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a - b \cdot 4b}{4ab} = \frac{a^2 - 4b^2}{4ab}\)
   Разделим полученную дробь на вторую дробь:
   \(\frac{a^2 - 4b^2}{4ab} : \frac{a + 2b}{12ab} = \frac{a^2 - 4b^2}{4ab} \cdot \frac{12ab}{a + 2b}\)
   Разложим числитель первой дроби на множители (разность квадратов):
   \(a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)\)
   Подставим и сократим:
   \(\frac{(a - 2b)(a + 2b)}{4ab} \cdot \frac{12ab}{a + 2b} = \frac{(a - 2b) \cdot 12ab}{4ab} = 3(a - 2b)\)
2. б) Упростим выражение во второй скобке:
   \(\frac{2x}{y - 2x} - \frac{2x}{y + 2x} = \frac{2x(y + 2x) - 2x(y - 2x)}{(y - 2x)(y + 2x)} = \frac{2xy + 4x^2 - 2xy + 4x^2}{y^2 - 4x^2} = \frac{8x^2}{y^2 - 4x^2}\)
   Числитель первой дроби представим в виде квадрата суммы:
   \(4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2\)
   Перепишем первое выражение:
   \(\frac{(2x + y)^2}{8x^2}\)
   Умножим первую дробь на вторую:
   \(\frac{(2x + y)^2}{8x^2} \cdot \frac{8x^2}{y^2 - 4x^2} = \frac{(2x + y)^2}{(y - 2x)(y + 2x)} = \frac{(2x + y)^2}{(y - 2x)(y + 2x)}\)
   Заметим, что \(y - 2x = -(2x - y)\), а \(y + 2x = 2x + y\). Также \(y^2 - 4x^2 = -(4x^2 - y^2) = -(2x - y)(2x + y)\).
   \(\frac{(2x + y)^2}{-(2x - y)(2x + y)} = -\frac{2x + y}{2x - y}\)

Ответ: а) \(3(a - 2b)\); б) \(-\frac{2x + y}{2x - y}\).