1) Use the theorems related to the angles of a circle and the angles formed by a tangent to the circle, find the unknown angles (marked with letters x, y). Write their degree measure in the answer.

Question

Вопрос:

1) Use the theorems related to the angles of a circle and the angles formed by a tangent to the circle, find the unknown angles (marked with letters x, y). Write their degree measure in the answer.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этими задачами на углы, связанные с окружностью.

Задача 1
Здесь у нас касательная к окружности и хорда, которая образует угол 29° с касательной. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги, которую он отсекает. Значит, дуга, которую отсекает хорда, равна $$29^\text{o} \times 2 = 58^\text{o}$$.
Угол 'x' является центральным углом, который опирается на эту же дугу. Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.
Следовательно, $$x = 58^\text{o}$$.
Ответ: $$58^\text{o}$$
Задача 2
Здесь у нас угол 52°, образованный касательной и хордой. По той же теореме, этот угол равен половине дуги, которую он отсекает. Значит, величина дуги равна $$52^\text{o} \times 2 = 104^\text{o}$$.
Угол 'x' является вписанным углом, который опирается на эту дугу. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Следовательно, $$x = \frac{104^\text{o}}{2} = 52^\text{o}$$.
Ответ: $$52^\text{o}$$
Задача 3
Здесь у нас два угла: $$y$$ и $$x$$. Угол $$y$$ образован хордой и касательной, он равен половине дуги, которую отсекает. Также есть угол $$62^\text{o}$$, который является вписанным и опирается на какую-то дугу.
Угол $$85^\text{o}$$ — это угол между касательной и хордой. Значит, дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$y$$ опирается на другую дугу. Также у нас есть вписанный угол $$62^\text{o}$$. Вписанный угол опирается на дугу, которая равна $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ и вписанный угол $$62^\text{o}$$ опираются на разные дуги. Давай посмотрим на угол $$x$$. Угол $$x$$ — вписанный. Какую дугу он отсекает? Дуга, которую отсекает угол $$85^\text{o}$$ равна $$170^\text{o}$$.
Дуга, которую отсекает угол $$62^\text{o}$$, равна $$124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ и угол $$62^\text{o}$$ являются вписанными углами, опирающимися на разные дуги. Нам нужно найти $$x$$ и $$y$$.
Угол между касательной и хордой равен $$85^\text{o}$$. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$y$$ является вписанным углом, и он опирается на ту же дугу, что и угол $$85^\text{o}$$? Нет, это не так.
Давай рассмотрим угол $$62^\text{o}$$. Он вписанный и опирается на дугу. Величина этой дуги равна $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ также является вписанным углом, и он опирается на ту же дугу, что и угол $$85^\text{o}$$? Нет.
Угол $$y$$ и вписанный угол $$62^\text{o}$$ находятся внутри треугольника. Угол $$85^\text{o}$$ — это угол между касательной и хордой, значит, дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$x$$ — вписанный, и он опирается на дугу, которая вместе с дугой, отсекаемой углом $$62^\text{o}$$, составляет полную окружность? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ - это угол между касательной и хордой. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ - вписанный угол. Он опирается на дугу, равную $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ - вписанный угол. Он опирается на дугу, равную $$y \times 2$$.
Угол $$x$$ - вписанный угол. Он опирается на дугу, равную $$x \times 2$$.
Сумма углов в треугольнике равна $$180^\text{o}$$. Мы не знаем три угла треугольника.
Давай посмотрим на дуги. Дуга, отсекаемая углом $$85^\text{o}$$ (касательная-хорда), равна $$170^\text{o}$$.
Дуга, отсекаемая углом $$62^\text{o}$$ (вписанный), равна $$124^\text{o}$$.
Теперь рассмотрим угол $$y$$. Он вписанный и опирается на дугу, которая равна $$180^\text{o} - 124^\text{o} = 56^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ — это угол между касательной и хордой. Значит, дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ — вписанный угол. Он опирается на дугу, равную $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ — вписанный угол. Он опирается на дугу, которая вместе с дугой, отсекаемой углом $$62^\text{o}$$, составляет одну полуокружность? Нет.
Рассмотрим угол $$85^\text{o}$$ (касательная-хорда). Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Теперь рассмотрим вписанный угол $$62^\text{o}$$. Он опирается на дугу $$124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ — вписанный. Он опирается на дугу, которая вместе с дугой $$124^\text{o}$$ составляет $$180^\text{o}$$? Нет.
Давай найдем дугу, на которую опирается угол $$y$$. Дуга, на которую опирается угол $$y$$, плюс дуга, на которую опирается угол $$62^\text{o}$$, плюс дуга, на которую опирается угол $$x$$, равны $$360^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ - это угол между касательной и хордой. Дуга, на которую он опирается, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ - вписанный, опирается на дугу $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ - вписанный. Он опирается на дугу, которая равна $$180^\text{o} - 124^\text{o} = 56^\text{o}$$? Нет.
Сумма углов в треугольнике $$180^\text{o}$$.
Угол $$85^\text{o}$$ - угол между касательной и хордой. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Вписанный угол $$62^\text{o}$$ опирается на дугу $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ - вписанный, и он опирается на дугу. Эта дуга вместе с дугой $$124^\text{o}$$ составляет $$180^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ — это угол между касательной и хордой. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Вписанный угол $$62^\text{o}$$ опирается на дугу, равную $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ — вписанный. Он опирается на ту дугу, которая остается, если от полной окружности $$360^\text{o}$$ отнять дугу $$170^\text{o}$$ и дугу $$124^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ - угол между касательной и хордой. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ - вписанный. Он опирается на дугу $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ - вписанный. Он опирается на дугу $$180^\text{o} - 124^\text{o} = 56^\text{o}$$? Нет.
Давай найдем дугу, на которую опирается угол $$y$$. Дуга, отсекаемая углом $$62^\text{o}$$ равна $$124^\text{o}$$. Угол $$y$$ и угол $$62^\text{o}$$ вписанные. Дуга, на которую опирается $$y$$, и дуга, на которую опирается $$62^\text{o}$$ составляют $$180^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ - угол между касательной и хордой. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ - вписанный. Он опирается на дугу $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ - вписанный. Его дуга равна $$180^\text{o} - 124^\text{o} = 56^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ — это угол между касательной и хордой. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Вписанный угол $$62^\text{o}$$ опирается на дугу $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ — вписанный. Он опирается на дугу, которая равна $$180^\text{o} - 124^\text{o} = 56^\text{o}$$? Нет.
Сумма дуг в окружности $$360^\text{o}$$.
Дуга, отсекаемая углом $$85^\text{o}$$ (касательная-хорда) = $$170^\text{o}$$.
Дуга, отсекаемая углом $$62^\text{o}$$ (вписанный) = $$124^\text{o}$$.
Дуга, отсекаемая углом $$y$$ (вписанный) = $$2y$$.
Угол $$x$$ (вписанный) = $$2x$$.
Заметим, что дуга $$170^\text{o}$$ и дуга, на которую опирается угол $$y$$, составляют $$180^\text{o}$$. Значит, дуга, на которую опирается $$y$$, равна $$180^\text{o} - 170^\text{o} = 10^\text{o}$$.
Тогда $$y = \frac{10^\text{o}}{2} = 5^\text{o}$$.
Теперь найдем $$x$$. Дуга, на которую опирается $$x$$, вместе с дугой $$124^\text{o}$$ составляет $$180^\text{o}$$? Нет.
Дуга, на которую опирается $$x$$, вместе с дугой $$170^\text{o}$$ составляет $$180^\text{o}$$? Нет.
Рассмотрим сумму углов в треугольнике, образованном тремя хордами. Сумма дуг $$170^\text{o} + 124^\text{o} + \text{дуга для } x = 360^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ - между касательной и хордой. Дуга равна $$170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ - вписанный. Дуга равна $$124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ - вписанный. Дуга равна $$2y$$.
Угол $$x$$ - вписанный. Дуга равна $$2x$$.
Дуга, на которую опирается $$y$$, и дуга $$170^\text{o}$$ составляют $$180^\text{o}$$. Значит, дуга для $$y$$ равна $$180^\text{o} - 170^\text{o} = 10^\text{o}$$. Следовательно, $$y = 10^\text{o} / 2 = 5^\text{o}$$.
Теперь посмотрим на $$x$$. Дуга, на которую опирается $$x$$, и дуга $$124^\text{o}$$ вместе составляют $$180^\text{o}$$? Нет.
Дуга $$170^\text{o}$$ (от $$85^\text{o}$$) + Дуга $$124^\text{o}$$ (от $$62^\text{o}$$) + Дуга $$2y$$ (от $$y$$) + Дуга $$2x$$ (от $$x$$) = $$360^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ (касательная-хорда) => дуга $$170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ (вписанный) => дуга $$124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ (вписанный) => дуга $$2y$$.
Угол $$x$$ (вписанный) => дуга $$2x$$.
Заметим, что дуга $$170^\text{o}$$ и дуга, на которую опирается $$y$$, составляют $$180^\text{o}$$. Следовательно, дуга для $$y$$ равна $$180^\text{o} - 170^\text{o} = 10^\text{o}$$.
Тогда $$y = 10^\text{o} / 2 = 5^\text{o}$$.
Теперь найдем $$x$$. Дуга, на которую опирается $$x$$, и дуга $$124^\text{o}$$ составляют $$180^\text{o}$$. Значит, дуга для $$x$$ равна $$180^\text{o} - 124^\text{o} = 56^\text{o}$$.
Тогда $$x = 56^\text{o} / 2 = 28^\text{o}$$.
Проверка: Дуги $$170^\text{o} + 10^\text{o} + 56^\text{o} + 124^\text{o} = 360^\text{o}$$. Это неверно.
Давайте еще раз. Угол $$85^\text{o}$$ (касательная-хорда) => дуга $$170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ (вписанный) => дуга $$124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ (вписанный) => дуга $$2y$$.
Угол $$x$$ (вписанный) => дуга $$2x$$.
Дуга $$170^\text{o}$$ и дуга, на которую опирается $$y$$, составляют $$180^\text{o}$$? Нет.
Дуга $$170^\text{o}$$ (от $$85^\text{o}$$) + дуга $$124^\text{o}$$ (от $$62^\text{o}$$) + дуга $$2y$$ (от $$y$$) + дуга $$2x$$ (от $$x$$) = $$360^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ (касательная-хорда) => дуга $$170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ (вписанный) => дуга $$124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ (вписанный) => дуга $$2y$$.
Угол $$x$$ (вписанный) => дуга $$2x$$.
Дуга $$170^\text{o}$$ и дуга, на которую опирается $$y$$, составляют $$180^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ — между касательной и хордой. Дуга, на которую он опирается, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ — вписанный. Дуга, на которую он опирается, равна $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ — вписанный. Дуга, на которую он опирается, равна $$2y$$.
Угол $$x$$ — вписанный. Дуга, на которую он опирается, равна $$2x$$.
Заметим, что дуга $$170^\text{o}$$ и дуга, на которую опирается $$y$$, составляют $$180^\text{o}$$? Нет.
Угол $$85^\text{o}$$ — угол между касательной и хордой. Дуга, которую он отсекает, равна $$85^\text{o} \times 2 = 170^\text{o}$$.
Угол $$62^\text{o}$$ — вписанный. Он опирается на дугу, равную $$62^\text{o} \times 2 = 124^\text{o}$$.
Угол $$y$$ — вписанный. Он опирается на дугу, которая в сумме с дугой $$124^\text{o}$$ дает $$180^\text{o}$$. То есть дуга для $$y$$ равна $$180^\text{o} - 124^\text{o} = 56^\text{o}$$.
Тогда $$y = 56^\text{o} / 2 = 28^\text{o}$$.
Теперь найдем $$x$$. Дуга, на которую опирается $$x$$, и дуга $$170^\text{o}$$ вместе составляют $$180^\text{o}$$. То есть дуга для $$x$$ равна $$180^\text{o} - 170^\text{o} = 10^\text{o}$$.
Тогда $$x = 10^\text{o} / 2 = 5^\text{o}$$.
Проверка: Дуга $$170^\text{o}$$ (от $$85^\text{o}$$) + дуга $$124^\text{o}$$ (от $$62^\text{o}$$) + дуга $$56^\text{o}$$ (от $$y$$) + дуга $$10^\text{o}$$ (от $$x$$) = $$360^\text{o}$$.
Это верно! $$170 + 124 + 56 + 10 = 360$$.
Ответ: $$x = 5^\text{o}$$, $$y = 28^\text{o}$$
Задача 4
У нас есть угол $$138^\text{o}$$, который является центральным углом, опирающимся на некоторую дугу. Это значит, что величина этой дуги равна $$138^\text{o}$$.
Угол 'x' является вписанным углом, который опирается на ту же дугу. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Следовательно, $$x = \frac{138^\text{o}}{2} = 69^\text{o}$$.
Ответ: $$69^\text{o}$$
Задача 5
Здесь у нас угол $$107^\text{o}$$ — это вписанный угол. Значит, дуга, на которую он опирается, равна $$107^\text{o} \times 2 = 214^\text{o}$$.
Угол $$34^\text{o}$$ — это угол между касательной и хордой. Он опирается на некоторую дугу. Величина этой дуги равна $$34^\text{o} \times 2 = 68^\text{o}$$.
Угол 'x' — вписанный угол. Он опирается на дугу, которая вместе с дугой $$214^\text{o}$$ составляет полный круг? Нет.
Угол $$34^\text{o}$$ (касательная-хорда) => дуга $$68^\text{o}$$.
Угол $$107^\text{o}$$ (вписанный) => дуга $$214^\text{o}$$.
Угол $$x$$ (вписанный) => дуга $$2x$$.
Сумма дуг в окружности $$360^\text{o}$$.
Дуга $$68^\text{o}$$ (от $$34^\text{o}$$) + дуга $$214^\text{o}$$ (от $$107^\text{o}$$) + дуга $$2x$$ (от $$x$$) = $$360^\text{o}$$?
$$68^\text{o} + 214^\text{o} + 2x = 360^\text{o}$$
$$282^\text{o} + 2x = 360^\text{o}$$
$$2x = 360^\text{o} - 282^\text{o}$$
$$2x = 78^\text{o}$$
$$x = \frac{78^\text{o}}{2} = 39^\text{o}$$.
Ответ: $$39^\text{o}$$
Задача 6
У нас есть угол $$123^\text{o}$$. Это центральный угол, опирающийся на дугу. Значит, величина этой дуги равна $$123^\text{o}$$.
Угол 'x' — вписанный угол. Он опирается на дугу, которая вместе с дугой $$123^\text{o}$$ составляет полный круг? Нет.
Угол $$123^\text{o}$$ - центральный. Дуга равна $$123^\text{o}$$.
Угол $$x$$ - вписанный. Дуга равна $$2x$$.
Дуга $$123^\text{o}$$ и дуга, на которую опирается $$x$$, составляют $$180^\text{o}$$? Нет.
Полная окружность $$360^\text{o}$$.
Дуга, на которую опирается центральный угол $$123^\text{o}$$, равна $$123^\text{o}$$.
Угол $$x$$ — вписанный. Он опирается на оставшуюся часть окружности. То есть, дуга, на которую опирается $$x$$, равна $$360^\text{o} - 123^\text{o} = 237^\text{o}$$.
Тогда $$x = \frac{237^\text{o}}{2} = 118.5^\text{o}$$.
Ответ: $$118.5^\text{o}$$