1. В ∆ ABC AB=AC, медиана BK и CP пересекаются в точке M. AM = 4 см, BC = 9 см. Чему равна площадь ∆ ABC?

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ AB = AC \]
• \[ BK \] и\[ CP \] — медианы
• \[ M \] — точка пересечения медиан
• \[ AM = 4 \text{ см} \]
• \[ BC = 9 \text{ см} \]

Найти:

• \[ S_{ABC} \] — площадь треугольника ABC

Решение:

1. \[ AM \] — часть медианы\[ AP \] (или\[ AK \] в зависимости от того, какой угол рассматриваем). Так как медианы пересекаются в точке\[ M \], которая делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины, то\[ AP = 2 \cdot MP \].
2. Мы знаем, что\[ AM = 4 \text{ см} \]. Поскольку\[ M \] делит медиану\[ AP \] в отношении 2:1, то\[ AP = 3 \cdot MP \].
3. Так как\[ AM \] — это 2/3 медианы\[ AP \], то\[ AP = \frac{3}{2} \cdot AM = \frac{3}{2} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см} \].
4. В равнобедренном треугольнике\[ ABC \] (так как\[ AB = AC \]), медиана\[ AP \] к основанию\[ BC \] является также высотой и биссектрисой.
5. Следовательно,\[ AP \perp BC \].
6. Площадь треугольника\[ ABC \] равна\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AP \].
7. Подставляем известные значения:\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 54 \text{ см}^2 = 27 \text{ см}^2 \].

Ответ: 27 см²