1. В △ABC серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC пересекаются в точке O, BO = 10 см, ∠ACO = 30°. Найдите расстояние от точки O до стороны AC. 2. В △ABC ∠B = 90°, AC = 10 см. BC = 6 см, K — середина стороны AC. Из точки K опущен перпендикуляр KE к стороне BC. Найдите длину KE.

1. Решение:

• Так как BO — серединный перпендикуляр к стороне AB, то AO = BO = CO (свойство серединных перпендикуляров).
• По условию BO = 10 см, следовательно, AO = CO = 10 см.
• AC = AO + CO = 10 + 10 = 20 см.
• В △ABC, AO = CO, значит, △ABC — равнобедренный.
• Расстояние от точки O до стороны AC — это высота, проведенная из O к AC. Так как △AOC равнобедренный (AO = CO), то высота, проведенная к основанию AC, будет также медианой и биссектрисой.
• В △AOC, ∠ACO = 30°. Так как OK — высота, то △OKC — прямоугольный треугольник.
• В △OKC, sin(30°) = OK / CO.
• OK = CO * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 см.

2. Решение:

• В △ABC, по теореме Пифагора: AB² = AC² - BC² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64.
• AB = √64 = 8 см.
• K — середина AC, поэтому AK = KC = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см.
• KE — перпендикуляр к BC, значит, KE || AB (так как AB ⊥ BC).
• По теореме Фалеса (или свойству средней линии в треугольнике), KE является средней линией △ABC, так как K — середина AC и KE || AB.
• Следовательно, KE = AB / 2.
• KE = 8 / 2 = 4 см.

Ответ: 1. 5 см. 2. 4 см.