1. В четырехугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180°, AB ∥ CD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.

Так как AB ∥ CD и ∠A + ∠B = 180°, то прямые AD и BC также параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Обозначим точку пересечения диагоналей через O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому O является центром его центральной симметрии: точки B и D, а также точки на сторонах BC и AD, переходят друг в друга.

Пусть BM = KD = x. При центральной симметрии точка M переходит в точку K' на стороне AD, причём DK' = BM = x. По условию DK = x, поэтому K' = K.

Значит, точки M и K симметричны относительно точки O. Следовательно, OM = OK.

Ответ: точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей: OM = OK.