1. В четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180°, AB ∥ CD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей AC и BD.

1. Так как AB ∥ CD, то углы A и D, а также B и C — внутренние односторонние углы.
2. Из условия ∠A + ∠B = 180° следует, что ∠B = ∠D. Следовательно, прямые BC и AD параллельны.
3. Таким образом, ABCD — параллелограмм. Точка O является его центром симметрии: при центральной симметрии относительно O точки B и D переходят друг в друга, а сторона BC переходит в сторону AD.
4. Точка M лежит на BC. Её образ при этой симметрии — точка K′ на AD, причём BM = DK′.
5. По условию BM = DK, поэтому DK′ = DK. На отрезке AD такая точка единственна, значит, K′ = K.
6. Центральная симметрия сохраняет расстояния до центра O, поэтому OM = OK.

Ответ: точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки O: OM = OK.