1. В четырёхугольнике MPKH ∠PMK = ∠HKM, PK ∥ MH. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны PK и MH в точках A и B соответственно. Докажите, что AP = HB.

Так как \(MK\) пересекает прямые \(MP\) и \(KH\), а \(\angle PMK=\angle HKM\), то эти углы являются равными накрест лежащими углами. Следовательно, \(MP\parallel KH\).

По условию также \(PK\parallel MH\). Значит, в четырёхугольнике \(MPKH\ обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(MPKH\) — параллелограмм.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Пусть их точка пересечения — \(O\). Центральная симметрия с центром \(O\) переводит точку \(P\) в точку \(H\), сторону \(PK\) — в сторону \(HM\), а прямую \(AB\), проходящую через \(O\), переводит в себя. Поэтому точка \(A\) переходит в точку \(B\).

Центральная симметрия сохраняет расстояния, следовательно, \(AP=HB\).

Ответ: \(AP=HB\).