1 В калориметре находится кусок льда, масса которого 100 г и температура -10 °С. Затем в калориметр добавляют воду, масса которой 400 г и температура 10 °С. Определите температуру содержимого калориметра после установления теплового равновесия. Удельная теплоёмкость льда 2,1·10³ Дж/(кг·°С), удельная теплоёмкость воды 4,2·10³ Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда 3,4·10⁵ Дж/кг. Ответ: _______ °С.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо учесть теплообмен между льдом и водой, а также теплоту, необходимую для плавления льда.

1. Начальные условия:

• Масса льда: \( m_{л} = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг} \)
• Начальная температура льда: \( t_{л} = -10 \text{ °С} \)
• Масса воды: \( m_{в} = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг} \)
• Начальная температура воды: \( t_{в} = 10 \text{ °С} \)
• Удельная теплоёмкость льда: \( c_{л} = 2.1 \times 10^3 \text{ Дж/(кг·°С)} \)
• Удельная теплоёмкость воды: \( c_{в} = 4.2 \times 10^3 \text{ Дж/(кг·°С)} \)
• Удельная теплота плавления льда: \( λ = 3.4 \times 10^5 \text{ Дж/кг} \)

2. Уравнение теплового баланса:

Теплота, отданная водой при остывании, равна теплоте, полученной льдом для нагревания до 0 °С, плавления и нагревания полученной воды до конечной температуры. Предположим, что конечная температура \( t_{к} \) будет выше 0 °С, и весь лёд расплавится.

\( Q_{отд} = Q_{пол} \)

Теплота, отданная водой:

\( Q_{отд} = c_{в} m_{в} (t_{в} - t_{к}) = 4.2 \times 10^3 \times 0.4 \times (10 - t_{к}) \)

Теплота, полученная льдом:

\( Q_{пол} = Q_{нагр.л} + Q_{пл} + Q_{нагр.в} \)

\( Q_{нагр.л} = c_{л} m_{л} (0 - t_{л}) = 2.1 \times 10^3 \times 0.1 \times (0 - (-10)) = 2.1 \times 10^3 \times 0.1 \times 10 = 2.1 \times 10^3 \text{ Дж} \)

\( Q_{пл} = λ m_{л} = 3.4 \times 10^5 \times 0.1 = 3.4 \times 10^4 \text{ Дж} \)

\( Q_{нагр.в} = c_{в} m_{л} (t_{к} - 0) = 4.2 \times 10^3 \times 0.1 \times t_{к} \)

3. Составляем уравнение теплового баланса:

\( 4.2 \times 10^3 \times 0.4 \times (10 - t_{к}) = 2.1 \times 10^3 + 3.4 \times 10^4 + 4.2 \times 10^3 \times 0.1 \times t_{к} \)

Разделим всё на 100:

\( 4.2 \times 4 \times (10 - t_{к}) = 21 + 340 + 4.2 \times t_{к} \)

\( 16.8 \times (10 - t_{к}) = 361 + 4.2 t_{к} \)

\( 168 - 16.8 t_{к} = 361 + 4.2 t_{к} \)

\( 168 - 361 = 4.2 t_{к} + 16.8 t_{к} \)

\( -193 = 21 t_{к} \)

\( t_{к} = \frac{-193}{21} ≈ -9.19 \text{ °С} \)

Полученная температура отрицательная, что означает, что лёд не расплавится полностью. В этом случае конечная температура будет 0 °С, и часть льда останется.

Проверим, если конечная температура 0 °С:

Теплота, отданная водой при остывании до 0 °С:

\( Q_{отд} = c_{в} m_{в} (t_{в} - 0) = 4.2 \times 10^3 \times 0.4 \times 10 = 16.8 \times 10^3 = 16800 \text{ Дж} \)

Теплота, полученная льдом для нагревания до 0 °С и плавления:

\( Q_{пол} = Q_{нагр.л} + Q_{пл} = 2.1 \times 10^3 + 3.4 \times 10^4 = 2100 + 34000 = 36100 \text{ Дж} \)

Видно, что \( Q_{отд} < Q_{пол} \). Это значит, что вся вода остынет до 0 °С, но весь лёд не успеет расплавиться. Следовательно, установится тепловое равновесие при температуре 0 °С, и в калориметре будет смесь льда и воды.

Если же предположить, что весь лёд расплавился и вода нагрелась, то наша первая формула с конечной температурой t_k верна.

Давайте пересчитаем, но теперь учтем, что в воде изначально 100 г льда и 400 г воды. Суммарная масса воды будет 500 г.

Теплота, отданная водой (400г) при остывании до t_к:

\( Q_{отд} = c_{в} m_{в} (t_{в} - t_{к}) = 4.2 \times 10^3 \times 0.4 \times (10 - t_{к}) \)

Теплота, полученная льдом (100г):

1. Нагревание до 0°С: \( Q_{нагр.л} = c_{л} m_{л} (0 - t_{л}) = 2.1 \times 10^3 \times 0.1 \times (0 - (-10)) = 2100 \text{ Дж} \)

2. Плавление: \( Q_{пл} = λ m_{л} = 3.4 \times 10^5 \times 0.1 = 34000 \text{ Дж} \)

3. Нагревание полученной воды до t_к: \( Q_{нагр.в} = c_{в} m_{л} (t_{к} - 0) = 4.2 \times 10^3 \times 0.1 \times t_{к} \)

Уравнение теплового баланса:

\( 4.2 \times 10^3 \times 0.4 \times (10 - t_{к}) = 2100 + 34000 + 4.2 \times 10^3 \times 0.1 \times t_{к} \)

\( 1680 \times (10 - t_{к}) = 36100 + 420 t_{к} \)

\( 16800 - 1680 t_{к} = 36100 + 420 t_{к} \)

\( 16800 - 36100 = 420 t_{к} + 1680 t_{к} \)

\( -19300 = 2100 t_{к} \)

\( t_{к} = \frac{-19300}{2100} ≈ -9.19 \text{ °С} \)

Опять получили отрицательную температуру. Это означает, что вода не сможет нагреть весь лёд до температуры плавления. Проверим, хватит ли тепла от остывания воды до 0°С, чтобы нагреть лёд до 0°С.

Тепло, отданное водой при остывании до 0 °С:

\( Q_{отд} = c_{в} m_{в} (10 - 0) = 4.2 \times 10^3 \times 0.4 \times 10 = 16800 \text{ Дж} \)

Тепло, необходимое для нагревания льда до 0 °С:

\( Q_{нагр.л} = c_{л} m_{л} (0 - (-10)) = 2.1 \times 10^3 \times 0.1 \times 10 = 2100 \text{ Дж} \)

Тепло, необходимое для плавления льда:

\( Q_{пл} = λ m_{л} = 3.4 \times 10^5 \times 0.1 = 34000 \text{ Дж} \)

Общее тепло, которое нужно льду, чтобы расплавиться: \( 2100 + 34000 = 36100 \text{ Дж} \)

Тепла, отданного водой (16800 Дж), недостаточно, чтобы расплавить весь лёд (36100 Дж). Следовательно, установится равновесие при температуре 0 °С, и в калориметре будет смесь льда и воды.

Ошибка в рассуждении. Вода и лед находятся в калориметре. Масса воды 400 г. Масса льда 100 г.

Дано:

\( m_{л} = 0.1 \text{ кг} \)

\( t_{л} = -10 \text{ °С} \)

\( m_{в} = 0.4 \text{ кг} \)

\( t_{в} = 10 \text{ °С} \)

\( c_{л} = 2100 \text{ Дж/(кг·°С)} \)

\( c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \)

\( λ = 3.4 \times 10^5 \text{ Дж/кг} \)

Найти: \( t_{к} \)

Решение:

Теплота, полученная льдом для нагрева до 0°С:

\( Q_1 = c_{л} m_{л} (0 - t_{л}) = 2100 \times 0.1 \times (0 - (-10)) = 2100 \times 0.1 \times 10 = 2100 \text{ Дж} \)

Теплота, необходимая для плавления льда при 0°С:

\( Q_2 = λ m_{л} = 3.4 \times 10^5 \times 0.1 = 34000 \text{ Дж} \)

Общая теплота, необходимая для превращения льда в воду при 0°С:

\( Q_{полн.л} = Q_1 + Q_2 = 2100 + 34000 = 36100 \text{ Дж} \)

Теплота, отданная водой при остывании от 10°С до конечной температуры \( t_{к} \):

\( Q_{отд.в} = c_{в} m_{в} (t_{в} - t_{к}) = 4200 \times 0.4 \times (10 - t_{к}) = 1680 \times (10 - t_{к}) \)

Предположим, что весь лед растаял и полученная вода нагрелась до температуры \( t_{к} \).

Теплота, полученная водой, образовавшейся из льда, при нагревании от 0°С до \( t_{к} \):

\( Q_3 = c_{в} m_{л} (t_{к} - 0) = 4200 \times 0.1 \times t_{к} = 420 t_{к} \)

Уравнение теплового баланса:

\( Q_{отд.в} = Q_1 + Q_2 + Q_3 \)

\( 1680 \times (10 - t_{к}) = 36100 + 420 t_{к} \)

\( 16800 - 1680 t_{к} = 36100 + 420 t_{к} \)

\( 16800 - 36100 = 420 t_{к} + 1680 t_{к} \)

\( -19300 = 2100 t_{к} \)

\( t_{к} = \frac{-19300}{2100} ≈ -9.19 \text{ °С} \)

Полученная температура отрицательная, что указывает на то, что не все условия выполнены. Это означает, что весь лёд не растаял. Следовательно, равновесная температура будет 0 °С.

Проверим, хватит ли тепла от остывания воды до 0°С, чтобы растопить весь лёд.

Тепло, отданное водой при остывании до 0°С:

\( Q_{отд.в} = c_{в} m_{в} (10 - 0) = 4200 \times 0.4 \times 10 = 16800 \text{ Дж} \)

Тепло, необходимое для полного превращения льда в воду при 0°С:

\( Q_{полн.л} = 36100 \text{ Дж} \)

Так как \( Q_{отд.в} < Q_{полн.л} \), то есть 16800 Дж < 36100 Дж, то весь лёд не растает. В этом случае установится тепловое равновесие при температуре плавления льда, то есть 0 °С.

Ответ: 0