1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания конуса через \(r\), а образующую — через \(l\). В осевом сечении основание треугольника равно \(2r\). Так как сечение — правильный треугольник, \(l=2r\).

Радиус вписанного шара равен радиусу вписанной окружности осевого сечения. У равностороннего треугольника со стороной \(2r\) этот радиус равен \(\rho=\frac{2r\sqrt{3}}{6}=\frac{r}{\sqrt{3}}\).

Площадь сферы: \(S_{\text{сф}}=4\pi\rho^2=\frac{4\pi r^2}{3}\). Боковая площадь конуса: \(S_{\text{бок}}=\pi rl=2\pi r^2\).

Следовательно, \(\frac{S_{\text{сф}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{4\pi r^2/3}{2\pi r^2}=\frac{2}{3}\).

Ответ: \(2:3\).