№ 1. В кубе с ребром 8 см построено сечение плоскостью α = (AMC), где M ∈ DD₁ и MD = MD₁. Вычислить периметр и площадь сечения.

Так как точка M — середина ребра DD₁, то сечение плоскостью (AMC) является треугольником AMC.

1. Найдём стороны треугольника:

   Диагональ грани:

   \(AC=8\sqrt{2}\) см.

   Так как \(MD=MD_1=4\) см, то

   \(AM=MC=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) см.

2. Периметр:

   \[P=AC+AM+MC=8\sqrt{2}+4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=8(\sqrt{2}+\sqrt{5})\text{ см}.\]

3. Площадь треугольника найдём по формуле площади через векторное произведение или как площадь треугольника с основанием \(AC\). Получаем:

   \[S=48\text{ см}^2.\]

Ответ: \(P=8(\sqrt{2}+\sqrt{5})\) см, \(S=48\) см².