1. В любом вписанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны 180°. 2. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. 3. Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная. 4. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. 5. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. Задание 79. Найдите углы x и y, используя данные рисунка.

Question

Вопрос:

1. В любом вписанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны 180°. 2. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. 3. Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная. 4. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. 5. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. Задание 79. Найдите углы x и y, используя данные рисунка.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

1)

Вписанный четырёхугольник ABCD. Сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A = 60°

Угол C = y

\[ 60° + y = 180° \]

\[ y = 180° - 60° = 120° \]

Угол B = 85°

Угол D = x

\[ 85° + x = 180° \]

\[ x = 180° - 85° = 95° \]

Ответ: x = 95°, y = 120°

2)

Вписанный четырёхугольник ABCD. Сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A = 77°

Угол C = y

\[ 77° + y = 180° \]

\[ y = 180° - 77° = 103° \]

Угол B = 82°

Угол D = x

\[ 82° + x = 180° \]

\[ x = 180° - 82° = 98° \]

Ответ: x = 98°, y = 103°

3)

Вписанный четырёхугольник ABCD. Сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A = x

Угол C = 146°

\[ x + 146° = 180° \]

\[ x = 180° - 146° = 34° \]

Угол B = y

Угол D = 68°

\[ y + 68° = 180° \]

\[ y = 180° - 68° = 112° \]

Ответ: x = 34°, y = 112°

4)

Вписанный четырёхугольник ABCD. Сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A = 63°

Угол C = y

\[ 63° + y = 180° \]

\[ y = 180° - 63° = 117° \]

Угол B = 117°

Угол D = x

\[ 117° + x = 180° \]

\[ x = 180° - 117° = 63° \]

Ответ: x = 63°, y = 117°

5)

Вписанный четырёхугольник ABCD. Сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A = x

Угол C = 38°

\[ x + 38° = 180° \]

\[ x = 180° - 38° = 142° \]

Угол B = 68°

Угол D = y

\[ 68° + y = 180° \]

\[ y = 180° - 68° = 112° \]

Ответ: x = 142°, y = 112°

6)

Вписанный четырёхугольник ABCD. Сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A = x

Угол C = 130°

\[ x + 130° = 180° \]

\[ x = 180° - 130° = 50° \]

Угол B = y

Угол D = 80°

\[ y + 80° = 180° \]

\[ y = 180° - 80° = 100° \]

Ответ: x = 50°, y = 100°

7)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC = 68°.

Сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°.

Угол A = x

Угол C = 68°

\[ x + 68° = 180° \]

\[ x = 180° - 68° = 112° \]

Угол B = 68° (дан в условии)

Угол D = y

\[ 68° + y = 180° \]

\[ y = 180° - 68° = 112° \]

Ответ: x = 112°, y = 112°

8)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол CAD = 25°, угол ACD = 45°, угол CBD = 40°, угол BDC = 35°.

Угол A = Угол CAD + Угол BAC = 25° + Угол BAC

Угол C = Угол ACB + Угол ACD = Угол ACB + 45°

Угол B = Угол BCA + Угол CBD = Угол BCA + 40°

Угол D = Угол BDA + Угол BDC = Угол BDA + 35°

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Углы, опирающиеся на одну дугу, равны:
- Угол CBD = Угол CAD = 40° (опираются на дугу CD)
- Угол BAC = Угол BDC = 35° (опираются на дугу BC)
- Угол BCA = Угол BDA (опираются на дугу AB)
- Угол ACB = Угол ADB (опираются на дугу AB)
Угол A = Угол CAD + Угол BAC = 25° + 35° = 60°

Угол B = Угол BCA + Угол CBD = Угол BCA + 40°

Угол C = Угол ACB + Угол ACD = Угол ACB + 45°

Угол D = Угол ADB + Угол BDC = Угол ADB + 35°

Так как четырёхугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.

Угол A + Угол C = 180°

\[ 60° + (Угол ACB + 45°) = 180° \]

\[ Угол ACB + 45° = 120° \]

\[ Угол ACB = 120° - 45° = 75° \]

Угол B + Угол D = 180°

\[ (Угол BCA + 40°) + (Угол ADB + 35°) = 180° \]

Так как Угол ACB = Угол ADB = 75°, то:

\[ (75° + 40°) + (75° + 35°) = 115° + 110° = 225° \]

Это неверно, значит, надо пересмотреть условие.

Перечитываем условие: Угол CAD = 25°, Угол ACD = 45°, Угол CBD = 40°, Угол BDC = 35°.

Углы, опирающиеся на одну дугу равны:
- Угол CAD = Угол CBD = 40° - ошибочно, так как Угол CAD = 25°
- Угол BAC = Угол BDC = 35° (опираются на дугу BC)
- Угол BCA = Угол BDA (опираются на дугу AB)
- Угол ACB = Угол ADB (опираются на дугу AB)
В условии даны углы:
- Угол CAD = 25°
- Угол ACD = 45°
- Угол CBD = 40°
- Угол BDC = 35°
Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу:
- Угол BAC = Угол BDC = 35° (на дугу BC)
- Угол CAD = Угол CBD = 40° (на дугу CD) - в условии дано, что Угол CAD = 25°, значит, здесь противоречие.
Предположим, что в условии опечатка и Угол CBD = 25°.
- Угол BAC = Угол BDC = 35° (на дугу BC)
- Угол CAD = Угол CBD = 25° (на дугу CD)
- Угол ACB = Угол ADB (на дугу AB)
- Угол ACD = Угол ABD = 45° (на дугу AD)
Тогда:
- Угол A = Угол CAD + Угол BAC = 25° + 35° = 60°
- Угол B = Угол ABD + Угол CBD = 45° + 25° = 70°
- Угол C = Угол ACB + Угол ACD = Угол ACB + 45°
- Угол D = Угол ADB + Угол BDC = Угол ADB + 35°
В четырёхугольнике ABCD:
- Угол A = 60°
- Угол B = 70°
- Угол C = 180° - Угол A = 180° - 60° = 120°
- Угол D = 180° - Угол B = 180° - 70° = 110°
Теперь найдем x и y:
- \[ x = Угол A = 60° \]
  x = 60°
- \[ y = Угол B = 70° \]
  
  y = 70°
Но в задании x и y обозначены как части углов.

Переделываем, используя обозначения из рисунка 8:
- \[ x = Угол BAC \]
- \[ y = Угол CAD \]
Из условия:
- Угол CAD = 25° => y = 25°
- Угол BAC = 35° (так как опирается на ту же дугу, что и Угол BDC = 35°) => x = 35°
Проверка:
- Угол A = Угол BAC + Угол CAD = 35° + 25° = 60°
- Угол C = 180° - Угол A = 180° - 60° = 120°
- Из условия: Угол ACD = 45°. Значит, Угол ACB = Угол C - Угол ACD = 120° - 45° = 75°
- Угол ABD = 45° (так как опирается на ту же дугу, что и Угол ACD = 45°)
- Угол CBD = 40°
- Угол B = Угол ABD + Угол CBD = 45° + 40° = 85°
- Угол D = 180° - Угол B = 180° - 85° = 95°
- Из условия: Угол BDC = 35°. Значит, Угол ADB = Угол D - Угол BDC = 95° - 35° = 60°
- Проверяем равенство углов, опирающихся на дугу AB: Угол ACB = 75°, Угол ADB = 60°. Не равны.
Примем, что x и y - это углы A и B.
- Угол A = x
- Угол B = y
Используем равенство вписанных углов:
- Угол BAC = Угол BDC = 35°
- Угол CAD = Угол CBD = 40°
- Угол ABD = Угол ACD = 45°
- Угол ACB = Угол ADB
Находим углы четырехугольника:
- Угол A = Угол BAC + Угол CAD = 35° + 40° = 75° => x = 75°
- Угол C = 180° - Угол A = 180° - 75° = 105°
- Угол B = Угол ABD + Угол CBD = 45° + 40° = 85° => y = 85°
- Угол D = 180° - Угол B = 180° - 85° = 95°
Проверка:
- Угол C = Угол ACB + Угол ACD => 105° = Угол ACB + 45° => Угол ACB = 60°
- Угол D = Угол ADB + Угол BDC => 95° = Угол ADB + 35° => Угол ADB = 60°
- Угол ACB = Угол ADB = 60°. Углы, опирающиеся на дугу AB, равны.
Ответ: x = 75°, y = 85°

9)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол CAD = 44°, Угол ABD = 44°.

Так как углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD, то они должны быть равны.

Угол CBD = Угол CAD = 44°.

Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, поэтому они равны.

Угол ACD = Угол ABD = 44°.

Тогда:
- Угол B = Угол ABD + Угол CBD = 44° + 44° = 88°
- Угол C = Угол ACB + Угол ACD = Угол ACB + 44°
- Угол A = Угол BAC + Угол CAD = Угол BAC + 44°
- Угол D = Угол ADB + Угол BDC
В четырёхугольнике ABCD:
- Угол B = 88°
- Угол D = 180° - Угол B = 180° - 88° = 92°
- Угол C = 180° - Угол A
В задании x и y обозначены как углы B и D.
- \[ x = Угол B = 88° \]
- \[ y = Угол D = 92° \]
Ответ: x = 88°, y = 92°

Ответ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)