1. В окружность вписан пятиугольник ABCDE, у которого AB = CD = 3, BC = ED = 4. а) Докажите, что AC = CE; б) Найдите BE, если AD = 6.

а) Обозначим через дуги AB, BC, CD, DE, EA последовательные дуги окружности. Равным хордам AB и CD соответствуют равные дуги, а равным хордам BC и DE — равные дуги. Действительно, равные хорды могут стягивать равные дуги или дуги, сумма которых равна 360°; здесь второй случай невозможен, поскольку между каждой парой рассматриваемых дуг остаются другие положительные дуги пятиугольника.

Поэтому дуги AC и CE, составленные из соответствующих пар последовательных дуг, равны. Равным дугам соответствуют равные хорды, значит, AC = CE.

б) По теореме Птолемея для четырёхугольника ABCD:

AC · BD = AB · CD + BC · AD = 3 · 3 + 4 · 6 = 33.

По теореме Птолемея для четырёхугольника ACDE, учитывая CE = AC:

AD · CE = AC · DE + CD · AE,

6AC = 4AC + 3AE, откуда AE = 2AC/3.

Теперь применим теорему Птолемея к четырёхугольнику ABDE:

AD · BE = AB · DE + BD · AE = 3 · 4 + BD · 2AC/3 = 12 + 2 · 33/3 = 34.

Следовательно, BE = 34/6 = 17/3.

Ответ: а) AC = CE; б) BE = 17/3.