1. В окружности, радиус которой равен 2,5 см, проведена хорда EF = 25 мм. В точках Е и F проведены касательные EG и FG к окружности. Найдите углы между касательными.

Решение:

1. Дано: Окружность с радиусом \( R = 2.5 \) см. Хорда \( EF = 25 \) мм \(= 2.5 \) см. EG и FG — касательные.

Найти: Углы между касательными.

Анализ:

Так как радиус окружности \( R = 2.5 \) см и хорда \( EF = 2.5 \) см, то треугольник \( \triangle OEF \) равносторонний (где O — центр окружности). Следовательно, \( \angle EOF = 60^{\circ} \).

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, \( \angle OEG = 90^{\circ} \) и \( \angle OFG = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник \( OEFG \). Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle EFG = 360^{\circ} - \angle EOF - \angle OEG - \angle OFG \)

\( \angle EFG = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 120^{\circ} \).

Так как \( EG = FG \) (как отрезки касательных, проведённых из одной точки), то \( \triangle EFG \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

\( \angle GEF = \angle GFE = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Угол между касательными \( EG \) и \( FG \) — это \( \angle EGF \).

\( \angle EGF = 120^{\circ} \).

Ответ: Угол между касательными равен \( 120^{\circ} \).