1. В окружности с центром О проведена хорда АВ (см. рис. 167). Расстояние от точки О до прямой АВ равно 5 см. Найдите радиус окружности, если АВ = 24 см.

Решение:

1. Построение: Проведем перпендикуляр OM из центра O к хорде AB. По условию OM = 5 см. Точка M делит хорду AB пополам, так как перпендикуляр из центра окружности, проведенный к хорде, делит ее пополам. Следовательно, AM = MB = AB / 2 = 24 см / 2 = 12 см.
2. Применение теоремы Пифагора: Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. Гипотенузой является радиус окружности OA (обозначим его как R). Катетами являются OM и AM. По теореме Пифагора: $$R^2 = OM^2 + AM^2$$.
3. Вычисление: $$R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$.
4. Нахождение радиуса: $$R = \sqrt{169} = 13$$ см.

Ответ: Радиус окружности равен 13 см.