1. В окружности с центром О проведены диаметр АС и радиус ОВ так, что хорда ВС равна радиусу. Найдите ∠AOB, если ∠BCO = 60°. 2. В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 8 см. Найдите сторону треугольника. 3. Дано: ∠ABC = 260°. Найти: ∠ABC.

Решение задачи №1:

Разбираем окружность с центром О.

1. Рассмотрим треугольник OBC:
   По условию, хорда BC равна радиусу OB и OC. Следовательно, треугольник OBC равносторонний.
2. Углы в равностороннем треугольнике:
   В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Значит, ∠BOC = 60°.
3. Рассмотрим треугольник OAB:
   OB и OA — радиусы окружности, значит, треугольник OAB равнобедренный (OB = OA).
4. Углы в равнобедренном треугольнике:
   По условию, ∠BCO = 60°. Так как AC — диаметр, то ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на диаметр, значит, он равен 90° (это не совсем так, AC - диаметр, угол ABC опирается на дугу AC, так что он прямой). Однако, нам дано, что BC = OB = OC, что уже делает треугольник OBC равносторонним, поэтому ∠BOC = 60°.
5. Нахождение ∠AOB:
   Угол AOC является развернутым (180°), так как AC — диаметр. Угол AOC = ∠AOB + ∠BOC.
   180° = ∠AOB + 60°.
   ∠AOB = 180° - 60° = 120°.

Ответ: ∠AOB = 120°

Решение задачи №2:

В равносторонний треугольник вписана окружность.

1. Свойства равностороннего треугольника и вписанной окружности:
   В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (центр масс, точка пересечения медиан, биссектрис и высот) находится на расстоянии 1/3 высоты от основания.
2. Формула радиуса вписанной окружности:
   Радиус вписанной окружности (r) связан с высотой (h) равностороннего треугольника формулой: r = h / 3.
3. Высота равностороннего треугольника:
   Высота равностороннего треугольника со стороной 'a' вычисляется по формуле: h = (a * sqrt(3)) / 2.
4. Подставляем значения:
   Нам дан радиус r = 8 см.
   8 = h / 3, следовательно, h = 8 * 3 = 24 см.
   Теперь используем формулу высоты: 24 = (a * sqrt(3)) / 2.
   48 = a * sqrt(3).
   a = 48 / sqrt(3).
   Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на sqrt(3):
   a = (48 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3)).
   a = (48 * sqrt(3)) / 3.
   a = 16 * sqrt(3) см.

Ответ: Сторона треугольника равна 16√3 см.

Решение задачи №3:

Дано: дуга ABC = 260°.

1. Центральный угол:
   Центральный угол, опирающийся на дугу, равен величине этой дуги. В данном случае, если бы вершина угла была в центре окружности (O), то ∠AOC (или другой центральный угол, опирающийся на дугу ABC) был бы равен 260°.
2. Вписанный угол:
   Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла, или половине величины дуги.
3. Вычисление:
   Угол ABC — вписанный угол. Он опирается на дугу AC. Величина дуги AC, на которую опирается вписанный угол ∠ABC, равна полной окружности (360°) минус дуга ABC (260°).
   Дуга AC = 360° - 260° = 100°.
   Вписанный угол ∠ABC равен половине дуги AC.
   ∠ABC = 100° / 2 = 50°.

Ответ: ∠ABC = 50°