1. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 75°. Найдите остальные углы треугольника ABC. Сколько градусов составляет угол BAC?

Так как BH — высота, треугольник BHC прямоугольный, поэтому \(\tan \angle BCA = \frac{BH}{CH}\), а \(BC = \frac{CH}{\cos \angle BCA}\).

Из условия \(AH = BC + CH\), значит \(AH = CH\left(1 + \frac{1}{\cos \angle BCA}\right)\). В прямоугольном треугольнике ABH:

\(\tan \angle BAC = \frac{BH}{AH} = \frac{\sin \angle BCA}{1 + \cos \angle BCA} = \tan\frac{\angle BCA}{2}\).

Оба угла острые, поэтому \(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BCA\). Углы треугольника в сумме дают 180°: \(\angle BAC + \angle BCA = 180° - 75° = 105°\). Следовательно, \(\frac{3}{2}\angle BAC = 105°\), откуда \(\angle BAC = 35°\).

Ответ: 35