1. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла ADC пересекает сторону BC в точке E под углом ∠DEC = 60° и делит сторону на отрезки BE = 3 см и CE = 4 см. Найдите: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) определите вид четырёхугольника ABED.

Так как DE — биссектриса угла ADC, а EC ∥ DA, то углы между DE и EC и между DE и DA равны. Следовательно, ∠ADE = ∠DEC = 60°, поэтому ∠ADC = 120°.

Смежные углы параллелограмма в сумме дают 180°, а противоположные равны. Значит, ∠B = ∠D = 120°, ∠A = ∠C = 60°.

В треугольнике DEC углы при E и D равны 60°, поэтому он равносторонний: CD = CE = 4 см. Также BC = BE + CE = 3 + 4 = 7 см, а значит, AD = 7 см. Тогда P = 2(AD + CD) = 2(7 + 4) = 22 см.

В четырёхугольнике ABED стороны BE и AD параллельны, поскольку BE лежит на BC, а BC ∥ AD. Боковые стороны AB и DE равны: AB = CD = 4 см, а DE = CE = 4 см. Следовательно, ABED — равнобедренная трапеция.

Ответ: а) ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°; б) 22 см; в) равнобедренная трапеция.