1. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 1°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть диагонали пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому в треугольнике ACD отрезок BD имеет направление, соответствующее вектору \(2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}\).

Обозначим \(CD=AB=a\). Тогда \(AC=2a\), а угол между направлениями \(CA\) и \(CD\) равен \(1^\circ\). Разложим вектор, задающий направление BD, на составляющие вдоль и перпендикулярно AC. Его перпендикулярная составляющая пропорциональна \(2a\sin 1^\circ\), а составляющая вдоль AC — \(2a(1-\cos 1^\circ)\).

Угол между диагоналями равен \(90^\circ-\arctan\!\left(\frac{1-\cos 1^\circ}{\sin 1^\circ}\right)\). Так как \(\frac{1-\cos x}{\sin x}=\tan\frac{x}{2}\), получаем \(90^\circ-0.5^\circ=89.5^\circ\).

Ответ: 89,5°.