1*. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, что MC = MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Так как M — середина AB, то AM = MB. По условию MC = MD.

Рассмотрим треугольники AMC и BMD. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AC = BD; кроме того, ∠MAC = ∠MBD как углы между параллельными прямыми AB и CD, а также AM = MB. Следовательно, треугольники AMC и BMD равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда ∠AMC = ∠BMD. Поскольку A, M, B лежат на одной прямой, смежные углы ∠AMC и ∠CMB в сумме равны 180°. Равенство треугольников даёт ∠AMC = ∠BMD, а ∠BMD и ∠CMB — смежные углы, значит, ∠AMC = 90°. Тогда диагонали AC и BD перпендикулярны. В параллелограмме с перпендикулярными диагоналями соседние стороны равны, а значит, этот параллелограмм является ромбом — это не доказывает прямоугольность.

Корректное доказательство: обозначим векторы AB = u и AD = v. Тогда M имеет координату u/2, C = u + v и D = v. Из MC = MD следует:

\( |v+u/2|^2=|v-u/2|^2 \), откуда \(2u\cdot v=0\), то есть \(AB\perp AD\). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: ABCD — прямоугольник.