1. В правильной четырехугольной призме диагональ, равная 6 см, образует с плоскостью основания угол, равный 30°. Найдите высоту призмы и ее объем.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим высоту призмы (h).
   В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю призмы (d=6 см), высотой призмы (h) и диагональю основания (D), угол между диагональю призмы и диагональю основания равен 30°. Высота призмы является противолежащим катетом к этому углу. Используем тригонометрическую функцию синус:
   \[ \sin(30^{\circ}) = \frac{h}{d} \]
   \[ h = d \cdot \sin(30^{\circ}) \]
   \[ h = 6 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см} \]
2. Шаг 2: Находим диагональ основания (D).
   Используем тригонометрическую функцию косинус:
   \[ \cos(30^{\circ}) = \frac{D}{d} \]
   \[ D = d \cdot \cos(30^{\circ}) \]
   \[ D = 6 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} \]
3. Шаг 3: Находим сторону основания (a).
   Так как призма правильная четырехугольная, в основании лежит квадрат. Диагональ квадрата связана со стороной по теореме Пифагора:
   \[ D^2 = a^2 + a^2 \]
   \[ D^2 = 2a^2 \]
   \[ a^2 = \frac{D^2}{2} \]
   \[ a = \frac{D}{\sqrt{2}} \]
   \[ a = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \text{ см} \]
4. Шаг 4: Находим площадь основания (S_осн).
   \[ S_{\text{осн}} = a^2 \]
   \[ S_{\text{осн}} = \left(\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \frac{9 \cdot 6}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ см}^2 \]
5. Шаг 5: Находим объем призмы (V).
   \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]
   \[ V = 13.5 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 40.5 \text{ см}^3 \]

Ответ: Высота призмы равна 3 см, объем призмы равен 40.5 см³.