1. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD все рёбра равны a. Найдите: 1) \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AC}\); 2) \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{DB}\).

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a. Введём координаты: \(A(\frac a2,\frac a2,0)\), \(B(-\frac a2,\frac a2,0)\), \(C(-\frac a2,-\frac a2,0)\), \(D(\frac a2,-\frac a2,0)\), \(M(0,0,\frac a{\sqrt2})\).

Тогда
\(\overrightarrow{MA}=(\frac a2,\frac a2,-\frac a{\sqrt2})\),
\(\overrightarrow{AC}=(-a,-a,0)\),
\(\overrightarrow{DB}=(-a,a,0)\).

1. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac a2(-a)+\frac a2(-a)+(-\frac a{\sqrt2})\cdot0=-a^2\).

2. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{DB}=\frac a2(-a)+\frac a2(a)+(-\frac a{\sqrt2})\cdot0=0\).

Ответ: 1) \(-a^2\); 2) \(0\).