1. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K и M — середины рёбер AD и DD₁ соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: 1) противоположно направлены вектору KM; 2) сонаправлены с вектором DC; 3) имеют длину, равную длине вектора A₁B.

Question

Вопрос:

Фото задания: 1. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K и M — середины рёбер AD и DD₁ соответственно. Запишите векторы с началом и…

1. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K и M — середины рёбер AD и DD₁ соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: 1) противоположно направлены вектору KM; 2) сонаправлены с вектором DC; 3) имеют длину, равную длине вектора A₁B.

Accepted Answer

Обозначим направления рёбер параллелепипеда векторами \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf h\).

Так как K и M — середины соответствующих рёбер, \(\overrightarrow{KM}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_1})=\frac12(\mathbf d+\mathbf h)\). Вершинный вектор, направленный противоположно ему, — \(\overrightarrow{D_1A}=-(\mathbf d+\mathbf h)\).
Вектор \(\overrightarrow{DC}\) направлен так же, как рёбра, соответствующие направлению \(\mathbf b\). Поэтому подходят \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{A_1B_1}\), \(\overrightarrow{D_1C_1}\).
Длина \(\overrightarrow{A_1B}\) равна длине ребра, соответствующего направлению \(\mathbf b-\mathbf h\). Среди пар вершин такой длины имеют векторы \(\overrightarrow{A_1B}\), \(\overrightarrow{BA_1}\), \(\overrightarrow{D_1C}\), \(\overrightarrow{CD_1}\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{D_1A}\); 2) \(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC},\ \overrightarrow{A_1B_1},\ \overrightarrow{D_1C_1}\); 3) \(\overrightarrow{A_1B},\ \overrightarrow{BA_1},\ \overrightarrow{D_1C},\ \overrightarrow{CD_1}\).