1. В прямоугольнике MPKH O — точка пересечения диагоналей, PA и HB — перпендикуляры, проведённые из вершин P и H к прямой MK. Известно, что MA = OB. Найдите угол POM.

Обозначим стороны прямоугольника MP и MK через a и d соответственно, а угол между ними — через θ. В прямоугольном треугольнике MPK имеем a = d·cos θ.

Проекция отрезка MP на MK равна MA = a·cos θ = d·cos² θ. Проекция точки H на MK находится на расстоянии d·sin² θ от M, а O — середина MK, поэтому OB = d·|sin² θ − 1/2|.

Из условия MA = OB следует cos² θ = |sin² θ − 1/2|. Поскольку cos² θ ≥ 0, это равенство даёт cos² θ = 1/4 или cos² θ = 3/4? Проверим обе ветви: при sin² θ ≥ 1/2 получаем cos² θ = sin² θ − 1/2, откуда cos² θ = 1/4; при sin² θ < 1/2 получаем cos² θ = 1/2 − sin² θ, откуда cos² θ = 3/4.

Угол POM равен удвоенному углу между MP и MK: диагонали прямоугольника образуют с горизонталью симметричные углы, поэтому ∠POM = 2θ. При cos² θ = 1/4 получается θ = 60° и ∠POM = 120°; при cos² θ = 3/4 получается θ = 30° и ∠POM = 60°.

Ответ: по условию возможны два значения: 60° и 120°.