1. В прямоугольнике МРКН O — точка пересечения диагоналей, PA и HB — перпендикуляры, проведённые из вершин P и H к прямой МК. Известно, что MA = OB. Найдите угол РОМ.

Обозначим стороны прямоугольника: MP = a, PH = b. Тогда диагональ MK имеет длину \(d=\sqrt{a^2+b^2}\).

Точка A — проекция P на MK, поэтому по формуле проекции \(MA=\frac{a^2}{d}\). Точка B — проекция H на MK. Так как O — середина MK, получаем \(OB=\frac{|b^2-a^2|}{2d}\).

Из условия \(MA=OB\): \(2a^2=|b^2-a^2|\). Случай \(b^2-a^2<0\) невозможен, поскольку тогда получилось бы \(b^2=-a^2\). Значит, \(b^2-a^2=2a^2\), откуда \(b^2=3a^2\).

Для угла между OM и OP скалярное произведение даёт \(\cos\angle POM=\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}=\frac{2a^2}{4a^2}=\frac12\).

Ответ: \(\angle POM=60^\circ\).