1. В прямоугольнике МРКН O — точка пересечения диагоналей, РА и НВ — перпендикуляры, проведённые из вершин Р и Н к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.

Обозначим МР = a, РК = b, а длину диагонали МК — через d. Так как O — середина диагонали МК, то МО = d/2.

Проекция точки Р на прямую МК даёт МА = a²/d. Проекция Н на ту же прямую находится на расстоянии b²/d от М, поэтому ОВ = |b²/d − d/2| = |b² − a²|/(2d).

Из условия МА = ОВ получаем a²/d = |b² − a²|/(2d), то есть 2a² = |b² − a²|. Поскольку a > 0, возможен только случай b² − a² = 2a²; следовательно, b² = 3a².

В треугольнике РОМ стороны ОР и ОМ равны половинам равных диагоналей прямоугольника. По теореме косинусов для угла θ = ∠РОМ получаем cos θ = (b² − a²)/(b² + a²) = 1/2.

Ответ: ∠РОМ = 60°.