1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 2, AD = 1, AA₁ = 1. Найдите угол между прямыми AA₁ и BC₁.

Рассмотрим направления прямых. Ребро BC₁ лежит в боковой грани BCC₁B₁, а его проекция на направление вертикальных рёбер равна BC = AD = 1. Также AA₁ = 1.

В этой грани треугольник BCC₁ прямоугольный, причём BC = CC₁ = 1. Поэтому он равнобедренный, и угол между BC₁ и вертикальным ребром равен \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).