1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA₁ = 5. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C₁, является ромбом. б) Найдите площадь этого сечения.

Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), оси направим вдоль рёбер \(AB\), \(AD\), \(AA_1\). Тогда \(B=(3,0,0)\), \(D=(0,2,0)\), \(C_1=(3,2,5)\).

Так как \(BO:OB_1=2:3\), а \(BB_1=5\), то \(BO=\frac{2}{5}\cdot 5=2\), поэтому \(O=(3,0,2)\).

Плоскость через \(A\), \(O\), \(C_1\) задаётся уравнением \(-4x-9y+6z=0\). На ребре \(DD_1\) имеем \(x=0\), \(y=2\), поэтому \(-18+6z=0\), откуда \(z=3\). Обозначим полученную точку через \(P=(0,2,3)\).

Следовательно, сечение — четырёхугольник \(AOC_1P\): его стороны лежат на гранях параллелепипеда. Векторы соседних сторон равны по длине: \(\overrightarrow{AO}=(3,0,2)\), \(\overrightarrow{OC_1}=(0,2,3)\), и \(|AO|=|OC_1|=\sqrt{13}\). Кроме того, противоположные стороны параллельны: \(\overrightarrow{PC_1}=(3,0,2)=\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{PA}=(0,-2,-3)=-\overrightarrow{OC_1}\). Значит, \(AOC_1P\) — параллелограмм с равными сторонами, то есть ромб.

Площадь ромба найдём как модуль векторного произведения двух соседних сторон:

\(S=|\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{OC_1}|=|(-4,-9,6)|=\sqrt{(-4)^2+(-9)^2+6^2}=\sqrt{133}.\)

Ответ: \(\sqrt{133}\) кв. ед.