1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: АВ = 16 см, AD =30 см, АА₁ = 7см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины D, D₁ и В.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Нам нужно найти площадь сечения параллелепипеда, которое проходит через точки D, D₁ и B.

Дано:

• Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁
• \[ AB = 16 \text{ см} \]
• \[ AD = 30 \text{ см} \]
• \[ AA_1 = 7 \text{ см} \]

Найти: Площадь сечения DDB₁

Решение:

Сечение DDB₁ — это треугольник. Чтобы найти его площадь, нам понадобятся длины его сторон. Известно, что DD₁ - это ребро параллелепипеда, и оно равно AA₁, то есть \( DD_1 = 7 \text{ см} \).

Теперь найдем длину стороны DB. Треугольник ADB — прямоугольный (так как ABCD — основание параллелепипеда, а значит, прямоугольник). По теореме Пифагора:

• \[ DB^2 = AD^2 + AB^2 \]
• \[ DB^2 = 30^2 + 16^2 \]
• \[ DB^2 = 900 + 256 \]
• \[ DB^2 = 1156 \]
• \[ DB = \sqrt{1156} = 34 \text{ см} \]

Теперь найдем длину стороны DB₁. Треугольник DD₁B₁ — прямоугольный (так как D₁B₁ — диагональ прямоугольника A₁B₁C₁D₁, а DD₁ — перпендикулярное ребро).

• \[ DB_1^2 = DD_1^2 + D_1B_1^2 \]

Сначала найдем длину диагонали D₁B₁. В прямоугольнике A₁B₁C₁D₁, \( D_1B_1 = AB = 16 \text{ см} \) (так как это противоположные стороны прямоугольника).

• \[ DB_1^2 = 7^2 + 16^2 \]
• \[ DB_1^2 = 49 + 256 \]
• \[ DB_1^2 = 305 \]
• \[ DB_1 = \sqrt{305} \text{ см} \]

Итак, у нас есть треугольник DDB₁. Его стороны:

• \[ DD_1 = 7 \text{ см} \]
• \[ DB = 34 \text{ см} \]
• \[ DB_1 = \sqrt{305} \text{ см} \]

Так как основание параллелепипеда — прямоугольник, то ребро DD₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD. Это значит, что DD₁ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку D. В частности, DD₁ перпендикулярно DB.

Значит, треугольник DDB₁ — прямоугольный с прямым углом при вершине D.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

• \[ S_{DDB_1} = \frac{1}{2} \times DD_1 \times DB \]
• \[ S_{DDB_1} = \frac{1}{2} \times 7 \text{ см} \times 34 \text{ см} \]
• \[ S_{DDB_1} = \frac{1}{2} \times 238 \text{ см}^2 \]
• \[ S_{DDB_1} = 119 \text{ см}^2 \]

Ответ: 119 см².