1. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 8, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 2√15. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, AC = 8, высота CH = 2√15.

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} AC BC \)
2. Через гипотенузу и высоту: \( S = \frac{1}{2} AB CH \)

Приравнивая площади, получаем: \( AC BC = AB CH \)

В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) => \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \)

Подставим известные значения:

\( 8 BC = \sqrt{8^2 + BC^2} 2\sqrt{15} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( 64 BC^2 = (8^2 + BC^2) (2\sqrt{15})^2 \)

\( 64 BC^2 = (64 + BC^2) 60 \)

\( 64 BC^2 = 3840 + 60 BC^2 \)

\( 4 BC^2 = 3840 \)

\( BC^2 = 960 \)

\( BC = \sqrt{960} = \sqrt{64 15} = 8\sqrt{15} \)

Теперь найдём гипотенузу AB:

\( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + (8\sqrt{15})^2} = \sqrt{64 + 64 15} = \sqrt{64(1 + 15)} = \sqrt{64 16} = 8 4 = 32 \)

Теперь найдём \( sin ∠ABC \)

\( sin ∠ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)

Ответ: sin ∠ABC = 1/4.