1. В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом 110°. Найдите острые углы данного треугольника.

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \(\alpha\) и \(\beta\), причём \(\alpha<\beta\). Тогда \(\alpha+\beta=90^\circ\).

Биссектриса наименьшего угла образует с его сторонами углы \(\alpha/2\). Угол между биссектрисой и другим катетом является дополнительным к углу \(\alpha/2\):

\(110^\circ=180^\circ-\alpha/2\).

Отсюда \(\alpha/2=70^\circ\), поэтому \(\alpha=140^\circ\), что невозможно для острого угла. Следовательно, в условии, вероятно, имеется в виду внешний угол между биссектрисой и катетом; тогда внутренний угол равен \(180^\circ-110^\circ=70^\circ\), а наименьший угол \(\alpha=2\cdot70^\circ=140^\circ\), что также невозможно.

Таким образом, при буквальном прочтении условие содержит противоречие: в прямоугольном треугольнике такой угол 110° возникнуть не может.

Ответ: условие, вероятно, напечатано с ошибкой; по данным фотографии корректного решения нет.