№ 1. В прямоугольной трапеции ABCD ∠D = 60°, AD = CD = 30. Найдите BC.

Опустим из точки C перпендикуляр CH на основание AD. Тогда CH — высота трапеции, а треугольник CHD прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике CHD гипотенуза CD = 30, а ∠D = 60°. Поэтому

\(CH = CD \cdot \sin 60^\circ = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\).

Проекция CD на основание равна

\(HD = CD \cdot \cos 60^\circ = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15\).

Так как AD = 30, получаем \(AH = AD - HD = 30 - 15 = 15\). В прямоугольной трапеции ABCH — прямоугольник, следовательно, \(BC = AH\).

Ответ: \(BC = 15\).