1) В прямоугольной трапеции ABCD угол BAD прямой, ∠BAC = 45°, ∠BCD = 135°, AD = 30 см. а) Найдите меньшую боковую сторону трапеции. б) Назовите три равных треугольника, из которых составлена эта трапеция.

Обозначим через H основание перпендикуляра, опущенного из C на AB. Поскольку AB ∥ CD, а AD ⟂ AB, высота трапеции равна AD = 30 см, поэтому CH = 30 см.

Так как ∠BAC = 45° и CH ⟂ AB, треугольник AHC — прямоугольный равнобедренный. Следовательно, AH = CH = 30 см.

Угол между CB и горизонтальным основанием равен 45°: это следует из ∠BCD = 135°. Поэтому треугольник BHC также прямоугольный равнобедренный, и BH = CH = 30 см. Тогда BC = 30√2 см.

Боковые стороны: AD = 30 см и BC = 30√2 см. Поскольку √2 > 1, меньшая боковая сторона — AD.

Площадь трапеции, выраженная через её высоту и основания, также равна сумме площадей треугольников AHC, BHC и прямоугольного треугольника, отсекаемого диагональю AC. Все три прямоугольных треугольника равны: каждый имеет катеты 30 см и 30 см.

Ответ: а) 30 см; б) три равных прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами 30 см.