1. В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом C вписали квадрат CDEF так, что точки D и F лежат на катетах, а точка E — на гипотенузе. Докажите, что диагональ CE квадрата является медианой треугольника ABC.

Дано: ∠C = 90°, AC = BC; CDEF — квадрат, D и F лежат на катетах, E — на гипотенузе AB.

Доказательство: Так как CD и CF — стороны квадрата, CD = CF. Они лежат на катетах, поэтому квадрат можно расположить так, что C — начало координат, катеты направлены вдоль осей, а D = (s, 0), F = (0, s). Тогда E — противоположная вершина квадрата с координатами (s, s).

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, его гипотенуза AB пересекает биссектрису угла C в своей середине. Диагональ CE квадрата лежит на биссектрисе прямого угла C. Кроме того, E лежит на AB. Значит, E — середина AB, и отрезок CE соединяет вершину C с серединой противоположной стороны.

Следовательно, CE — медиана треугольника ABC.