1) В равнобедр. 8 угол при основании = 30°. Длина высоты, опущенной на боков. сторону = 8 см. Найти основ.?

Задание 1. Равнобедренный треугольник

Дано:

• Треугольник равнобедренный.
• Угол при основании \( \alpha = 30^\circ \).
• Высота, опущенная на боковую сторону, \( h_b = 8 \) см.

Найти: основание \( a \).

Решение:

Обозначим боковую сторону как \( b \), а основание как \( a \). Обозначим угол при вершине как \( \beta \). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть \( h_b \) — высота, проведенная к боковой стороне \( b \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h_b \), половиной основания \( \frac{a}{2} \) и боковой стороной \( b \). Угол, противолежащий высоте \( h_b \), будет равен углу при основании \( \alpha = 30^\circ \).

В этом прямоугольном треугольнике:

• Катет \( h_b = 8 \) см.
• Угол, противолежащий катету \( h_b \), равен \( 30^\circ \).

Используем свойство катета, противолежащего углу в \( 30^\circ \): катет равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенуза — это боковая сторона \( b \). Значит, \( h_b = \frac{1}{2} b \).

Отсюда находим боковую сторону:

\[ b = 2 \cdot h_b = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} \]

Теперь найдем основание \( a \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания \( \frac{a}{2} \), высотой \( h_a \) (которая нам неизвестна) и боковой стороной \( b \). Угол при основании равен \( 30^\circ \).

Используем синус угла при основании:

\[ \sin(\alpha) = \frac{h_a}{b} \]

\( h_a = b \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \text{ см} \)

Теперь используем косинус угла при основании:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\frac{a}{2}}{b} \]

Выразим половину основания:

\[ \frac{a}{2} = b \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см} \]

Найдём основание:

\[ a = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: основание равно \( 16\sqrt{3} \text{ см} \).