1 В равнобедренном Д АВС, точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. ВД - медиана Д АВС. Док-ть, что Д АКD = Д CMD

Решение:

Нам нужно доказать равенство треугольников АКD и CMD.

Что нам дано:

• \[ \triangle ABC \] - равнобедренный.
• Точка K — середина стороны AB.
• Точка M — середина стороны BC.
• BD — медиана [ \(\triangle\) ABC \].

Что нужно доказать:

• [ \(\triangle\) AKD = \(\triangle\) CMD \]

Рассуждения:

1. Равные стороны: Так как [ \(\triangle\) ABC \] равнобедренный, то его боковые стороны равны: [ AB = BC \].
2. Равные отрезки: K — середина AB, значит [ AK = \(\frac{1}{2}\) AB \]. M — середина BC, значит [ CM = \(\frac{1}{2}\) BC \]. Поскольку [ AB = BC \], то [ AK = CM \].
3. Равные углы: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: [ \(\angle\) BAC = \(\angle\) BCA \] (или [ \(\angle\) A = \(\angle\) C \]).
4. Медиана BD: Медиана BD делит сторону AC пополам, то есть [ AD = DC \].
5. Углы при вершине D: Углы [ \(\angle\) AKD \] и [ \(\angle\) CMD \] не обязательно равны. Однако, рассмотрим углы, смежные с ними.
6. Используем теорему: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Но BD проведена к основанию AC.
7. Рассмотрим углы при основании: [ \(\angle\) BAC = \(\angle\) BCA \].
8. Применяем признак равенства треугольников: У нас есть две стороны [ AK = CM \] и [ AD = CD \], а также равные углы при основании [ \(\angle\) A = \(\angle\) C \].
9. Вывод: По двум сторонам и углу между ними (признак равенства [ \(\triangle\) \] по двум сторонам и углу между ними) [ \(\triangle\) AKD \] равен [ \(\triangle\) CMD \].

Обоснование:

1. [ AB = BC \] (по условию, [ \(\triangle\) ABC \] — равнобедренный).
2. [ AK = \(\frac{1}{2}\) AB \], [ CM = \(\frac{1}{2}\) BC \] (по условию, K и M — середины сторон).
3. [ AK = CM \] (из п. 1 и 2).
4. [ \(\angle\) BAC = \(\angle\) BCA \] (по условию, [ \(\triangle\) ABC \] — равнобедренный).
5. [ AD = DC \] (по условию, BD — медиана).
6. [ \(\triangle\) AKD = \(\triangle\) CMD \] (по второму признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними - сторона AK = CM, угол [ \(\angle\) A = \(\angle\) C \], сторона AD = CD).

Доказано.