1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены высоты AK и CM. Докажите, что △AKB = △CBM.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то боковые стороны равны: \(AB=BC\).

Поскольку \(AK\) и \(CM\) — высоты, то \(\angle AKB=\angle CMB=90^\circ\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AKB\) и \(CBM\). В них:

• \(AB=BC\) — гипотенузы;
• \(\angle AKB=\angle CMB\) — прямые углы;
• углы при вершине \(B\) равны: \(\angle ABK=\angle CBM\), поскольку лучи \(BK\) и \(BC\) лежат на одной прямой, а лучи \(BM\) и \(BA\) — на одной прямой.

Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу:

\[\triangle AKB=\triangle CBM.\]