1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает основание АС в точке Р. Найдите угол С, если ∠ABP = 52°.

Решение:

1. Обозначения: Пусть O - середина стороны AB. Тогда OP - серединный перпендикуляр к AB.
2. Свойства серединного перпендикуляра: Так как OP является серединным перпендикуляром к AB, то любая точка на OP равноудалена от A и B. Следовательно, AP = BP.
3. Треугольник ABP: Треугольник ABP является равнобедренным (AP = BP). Углы при основании равны: ∠PAB = ∠PBA.
4. Угол ∠PAB: Нам дано ∠ABP = 52°. Так как ∠PAB = ∠PBA, то ∠PAB = 52°.
5. Треугольник ABC: Треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Следовательно, углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
6. Угол ∠BAC: Угол ∠BAC состоит из двух частей: ∠PAB и ∠PAC. Однако, точка P лежит на AC, поэтому ∠BAC = ∠PAB. Таким образом, ∠BAC = 52°.
7. Сумма углов треугольника: В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°.
8. Нахождение ∠BCA (угол C): Нам известно ∠BAC = 52°. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠BCA = ∠BAC = 52°.

Ответ: Угол С равен 52°.