1) В равнобедренной трапеции ABCD ∠A = 30°, ∠ACD = 135°, AD = 20 см, BC = 10 см. а) Докажите, что AC — биссектриса угла BA[неразборчиво: C или D]. б) Найдите периметр трапеции.

В условии, вероятно, имеется в виду угол BAD: если прочитать угол как BAC, то AC уже является его стороной и не может быть биссектрисой.

а) В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC углы при основании AD равны, поэтому ∠ADC = ∠DAB = 30°.

В треугольнике ACD:

∠CAD = 180° − 135° − 30° = 15°.

Так как ∠BAD = 30°, то ∠BAC = ∠BAD − ∠CAD = 30° − 15° = 15°. Следовательно, ∠BAC = ∠CAD, и AC — биссектриса угла BAD.

б) По теореме синусов в треугольнике ACD:

\(\dfrac{CD}{\sin 15^\circ}=\dfrac{AD}{\sin 135^\circ}\), поэтому \(CD=20\cdot\dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 135^\circ}=10(\sqrt{3}-1)\) см.

Трапеция равнобедренная, значит, AB = CD. Тогда

\(P=AD+BC+AB+CD=20+10+2\cdot10(\sqrt{3}-1)=10+20\sqrt{3}\) см.

Ответ: периметр трапеции равен \(10+20\sqrt{3}\) см.