1. В равнобедренной трапеции ABCM (AM — большее основание) диагональ AC — биссектриса угла A. Найдите углы трапеции, если ∠ACM = 81°.

Так как AM — большее основание, угол A острый. В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому ∠A = ∠M.

Диагональ AC — биссектриса угла A, значит ∠CAM = ∠A / 2. Рассмотрим треугольник ACM:

∠CAM + ∠ACM + ∠CMA = 180°.

Подставим ∠CAM = ∠A / 2, ∠ACM = 81° и ∠CMA = ∠M = ∠A:

∠A / 2 + 81° + ∠A = 180°.

Отсюда ∠A = 66°. Тогда ∠M = 66°. Соседние углы при каждой боковой стороне трапеции в сумме дают 180°, поэтому ∠B = 180° − 66° = 114°, ∠C = 180° − 66° = 114°.

Ответ: ∠A = ∠M = 66°, ∠B = ∠C = 114°.