1. В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.

Обозначим меньшее основание через \(b\), тогда большее равно \(2b\). В равнобедренной трапеции середина большего основания находится прямо под серединой меньшего, поэтому горизонтальное расстояние от вершины тупого угла до середины большего основания равно половине меньшего основания: \(b/2\).

Пусть высота трапеции равна \(h\). По условию расстояние от вершины тупого угла до середины большего основания равно \(b\). По теореме Пифагора:

\(h^2+(b/2)^2=b^2\), откуда \(h=\sqrt{3}b/2\).

Горизонтальная проекция боковой стороны равна половине разности оснований: \((2b-b)/2=b/2\). Поэтому тангенс острого угла трапеции равен \(h/(b/2)=\sqrt{3}\), а острый угол равен \(60^\circ\). Соседние углы при боковой стороне в сумме составляют \(180^\circ\), значит тупой угол равен \(120^\circ\).

Ответ: углы трапеции — \(60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ\).