1. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB вписан прямоугольник KMNP, как показано на рисунке 116. Периметр этого прямоугольника равен 30 см, а смежные стороны KM и KP пропорциональны числам 2 и 3, т. е. KM:KP = 2:3. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть KM = 2x, а KP = 3x. По периметру прямоугольника:

2(KM + KP) = 30, поэтому KM + KP = 15.

Тогда 5x = 15, откуда x = 3. Значит, KM = 6 см, KP = 9 см.

Обозначим гипотенузу AB через c. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота из вершины C к гипотенузе равна c/2. Ширина треугольника на высоте KM над основанием равна c − 2KM: она уменьшается линейно от c у основания до 0 на высоте c/2.

Следовательно, KP = c − 2KM, то есть 9 = c − 12, откуда c = 21 см.

Ответ: 21 см.