1. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите угол MPN.

Дано: треугольник ABC — равносторонний; AM и CN — биссектрисы; AM ∩ CN = P.

Найти: угол MPN.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой. Поэтому M и N — середины сторон BC и AB соответственно.
2. Точка P — точка пересечения медиан треугольника ABC.
3. Рассмотрим треугольник MPN. Так как PM и PN направлены к серединам двух сторон равностороннего треугольника, угол между ними равен углу между соответствующими медианами.
4. Медианы равностороннего треугольника, проведённые к двум сторонам, образуют угол \(120^\circ\).

Рисунок:

Ответ: \(\angle MPN=120^\circ\).