1) В равностороннем треугольнике АВС сторона равна 5. Найти: r (радиус вписанной окружности), R (радиус описанной окружности).

Решение:

Для равностороннего треугольника со стороной \( a \) радиусы вписанной \( r \) и описанной \( R \) окружностей вычисляются по формулам:

\( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \)

В данном случае \( a = 5 \). Подставим значение стороны в формулы:

1. Радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \]

2. Радиус описанной окружности:

\[ R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]

Ответ: \( r = \frac{5\sqrt{3}}{6} \), \( R = \frac{5\sqrt{3}}{3} \).