1. В ромбе ABCD O — точка пересечения диагоналей, OM, OK, OE — перпендикуляры, опущенные на стороны AB, BC, CD соответственно. Докажите, что OM = OK, и найдите сумму углов MOB и COE.

Доказательство равенства. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Поэтому точка O равноудалена от всех сторон ромба: расстояния от неё до параллельных сторон AB и CD равны, а симметрия ромба относительно диагонали BD переводит сторону AB в BC и сохраняет расстояния. Следовательно, OM = OK.

Найдём сумму углов. Пусть ∠AOB = α. Так как диагонали ромба перпендикулярны, ∠BOC = 90°. В прямоугольных треугольниках AOB и BOC углы, образованные диагоналями и сторонами ромба, дополняют друг друга до 90°. Поскольку OM ⟂ AB, угол MOB равен углу между AB и диагональю AC. Поскольку OE ⟂ CD и AB ∥ CD, угол COE равен углу между диагональю AC и AB, взятому с другой стороны; вместе эти углы составляют прямой угол.

Ответ: OM = OK; ∠MOB + ∠COE = 90°.